Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym – twierdzenie podające warunek wystarczający na to, by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda \colon X\to Y} będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli X {\displaystyle X} jest F-przestrzenią oraz Λ ( X ) {\displaystyle \Lambda (X)} jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni Y , {\displaystyle Y,} to Λ {\displaystyle \Lambda } jest odwzorowaniem otwartym, Λ ( X ) = Y {\displaystyle \Lambda (X)=Y} oraz Y {\displaystyle Y} jest F-przestrzenią.

Wnioski

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą F-przestrzeniami oraz Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda \colon X\to Y} będzie operatorem liniowym i ciągłym.

  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
Jeśli Λ ( X ) = Y , {\displaystyle \Lambda (X)=Y,} to Λ {\displaystyle \Lambda } jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
Jeżeli Λ ( X ) = Y {\displaystyle \Lambda (X)=Y} oraz Λ {\displaystyle \Lambda } jest odwzorowaniem różnowartościowym, to Λ − 1 {\displaystyle \Lambda ^{-1}} jest ciągłe.
  • Jeżeli X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} są przestrzeniami Banacha oraz Λ {\displaystyle \Lambda } jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste a , b , {\displaystyle a,b,} że
a ‖ x ‖ ⩽ ‖ Λ x ‖ ⩽ b ‖ x ‖ {\displaystyle a\|x\|\leqslant \|\Lambda x\|\leqslant b\|x\|} dla każdego x ∈ X . {\displaystyle x\in X.}
  • Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych
Jeżeli ( X , ‖ ⋅ ‖ 1 ) , ( X , ‖ ⋅ ‖ 2 ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|_{1}),(X,\|\cdot \|_{2})} są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} punktów przestrzeni X {\displaystyle X} spełniony jest warunek
lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 = 0 ⇒ lim n → ∞ ‖ x n ‖ 2 = 0 , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{1}=0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\|x_{n}\|_{2}=0,}
to normy ‖ ⋅ ‖ 1 {\displaystyle \|\cdot \|_{1}} i ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{2}} są równoważne.
  • Jeżeli ( X , T 1 ) , ( X , T 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{1}),(X,{\mathcal {T}}_{2})} są F-przestrzeniami oraz T 1 ⊆ T 2 , {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2},} to T 1 = T 2 {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}}

Bibliografia

  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.