Twierdzenie Sikorskiego

Twierdzenie Sikorskiego – twierdzenie teorii algebr Boole’a mówiące, każdy homomorfizm z podalgebry danej algebry Boole’a o wartościach w algebrze zupełnej można przedłużyć do homomorfizmu na całej algebrze. Innymi słowy:

Niech B {\displaystyle \mathbb {B} } będzie algebrą Boole’a oraz A ⊆ B {\displaystyle \mathbb {A} \subseteq \mathbb {B} } jej podalgebrą. Jeżeli C {\displaystyle \mathbb {C} } jest algebrą zupełną to dla każdego homomorfizmu h : A → C {\displaystyle h\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C} } istnieje taki homomorfizm g : B → C , {\displaystyle g\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C} ,} że g ↾ A = h . {\displaystyle g\upharpoonright \mathbb {A} =h.}

Idea dowodu

Oczywiście odwzorowanie tożsamościowe i : A → B {\displaystyle i\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B} } jest homomorfizmem. Z twierdzenia Stone’a wynika, że istnieją takie izomorfizmy s A : A → CO(Ult) ( A ) , {\displaystyle s_{\mathbb {A} }\colon \mathbb {A} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} ),} s B : B → CO(Ult) ( B ) {\displaystyle s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )} i s C : C → CO(Ult) ( C ) , {\displaystyle s_{\mathbb {C} }\colon \mathbb {C} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {C} ),} że

s B ∘ i = i ∗ ¯ ∘ s A {\displaystyle s_{\mathbb {B} }\circ i={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} }}

oraz

s C ∘ h = i ∗ ¯ ∘ s A , {\displaystyle s_{\mathbb {C} }\circ h={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} },}

gdzie CO(Ult) ( X ) {\displaystyle {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {X} )} oznacza algebrę zbiorów regularnie otwartych przestrzeni Stone’a algebry X . {\displaystyle \mathbb {X} .}

Z twierdzenia Stone’a wynika ponadto, że i ∗ ¯ {\displaystyle {\overline {i^{*}}}} jest „na”, ponieważ i {\displaystyle i} jest różnowartościowe. Algebra C {\displaystyle \mathbb {C} } jest zupełna, a więc jej przestrzeń Stone’a jest ekstremalnie niespójna. Na mocy twierdzenia Gleasona istnieje taka funkcja ciągła f : U l t ( C ) → U l t ( B ) , {\displaystyle f\colon {\rm {{Ult}(\mathbb {C} )\to {\rm {{Ult}(\mathbb {B} ),}}}}} że

i ∗ ∘ f = h ∗ , {\displaystyle i^{*}\circ f=h^{*},}

a więc

h ∗ ¯ = f ¯ ∘ i ∗ ¯ . {\displaystyle {\overline {h^{*}}}={\overline {f}}\circ {\overline {i^{*}}}.}

Funkcja

g = s C − 1 ∘ f ¯ ∘ s B {\displaystyle g=s_{\mathbb {C} }^{-1}\circ {\overline {f}}\circ s_{\mathbb {B} }}

jest szukanym homomorfizmem ponieważ h = g ∘ i . {\displaystyle h=g\circ i.}

Bibliografia