Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.
Twierdzenie
Niech
![{\displaystyle (a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2de192f1a6833e682f290596cde0005541181b)
będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg
jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech
będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja
zbioru liczb naturalnych, że
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b1a7d643a5c818325d925ee901ac659b85b5e8)
Istnieje również taka permutacja
że
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\pm \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e3d09195f13bc316191912b70875362dd3ea28)
Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).
Dowód
Niech
będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do
odpowiednio z dołu i z góry, tzn.
i
(można przyjąć
oraz
). Oznaczmy ponadto
![{\displaystyle p_{n}={\tfrac {|a_{n}|+a_{n}}{2}},\ q_{n}={\tfrac {|a_{n}|-a_{n}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d3c3864660e5570470282b5d12f3bdbe5cc2e1)
Zauważmy, że ciąg
powstaje z ciągu
przez zastąpienie wyrazów
zerami. Analogicznie, ciąg
powstaje z ciągu
przez zastąpienie wyrazów
ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów
zerami. Oczywiście wszystkie wyraz
są nieujemne, a szeregi
są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg
co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg
gdyż
Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu
przez
a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez
(w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu
). Wtedy szeregi
oraz
są równe szeregom
oraz
z dokładnością do wyrazów równych
a zatem są oba rozbieżne.
Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne
oraz
w taki sposób, aby
i ![{\displaystyle P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-Q_{2}-\ldots -Q_{j_{1}}<m'_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595be16bf598ded0a525a5231d0bebfcb0e23e46)
Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów
Następnie dla danych liczb
określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby
tak aby
![{\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}>m_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe13ef315ab5dc5c36013351d08b83cf5be3e0d9)
oraz
![{\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}-Q_{j_{n}+1}-\ldots -Q_{j_{n+1}}<m'_{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58647c832aba7511cc566992df1a3ebd700cf0b2)
Otrzymujemy w ten sposób szereg
- (*)
![{\displaystyle P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n-1}}+\ldots +P_{i_{n}}-Q_{j_{n-1}}-\ldots -Q_{j_{n}}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765835d7326ce0f39b69bda523d4d2886d1011e8)
który jest szeregiem powstałym z
przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie
przez
Zauważmy ponadto, że
gdy
na mocy zbieżności szeregu
Ponieważ
to
tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego
gdy
To kończy dowód.
Przypadek
jest całkowicie analogiczny.
Przykład
Szereg
![{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }~{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc49df3c6a788ae0a5fc8f2cf5108801d4a8dc50)
nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do
na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich
![{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c53cf702602f6561aa45d1c6fec1ebc31e98ef0)
jak i szereg składników ujemnych
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{8}}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8aa3955d9e5a13fccba3272c528f42d0c94469f)
są rozbieżne do
Oznaczmy sumę jego wyrazów przez
Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:
![{\displaystyle S=(1-{\tfrac {1}{2}})+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{6}})+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04c4e248de78a6a3640cee092f58acca78a668c)
a następnie pomnożyć wszystkie przez
otrzymując
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}S={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{10}}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc0081e74a7ee610256a5ab5685865481de3ed5)
Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}S=1+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}-{\tfrac {2}{8}}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdcc4b66fd5fb7364376f258cb5ca1ee5bd4ace)
Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Series Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
L.D. Kudryavtsev, Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20].