Twierdzenie Rainwatera
Twierdzenie Rainwatera – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że ciąg ograniczony w przestrzeni Banacha jest słabo zbieżny do pewnego elementu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej zachodzi warunek
Innymi słowy, twierdzenie Rainwatera mówi, że w celu badania słabej zbieżności ciągu w przestrzeni Banacha wystarczy ograniczyć się do sprawdzania słabej zbieżności na punktach ekstremalnych kuli dualnej. Twierdzenie zostało udowodnione przez grupę matematyków publikujących pod wspólnym pseudonimem John Rainwater[3].
Zastosowanie do przestrzeni funkcji ciągłych
Niech będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech oznacza przestrzeń Banacha rzeczywistych funkcji ciągłych na z normą supremum. Punkty ekstremalne kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej są postaci gdzie Z twierdzenia Rainwatera wynika, że jeżeli ograniczony ciąg elementów przestrzeni jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji ciągłej to jest on zbieżny do w słabej topologii przestrzeni [4].
Przypisy
- ↑ Diestel i Uhl 1977 ↓, s. 190.
- ↑ Diestel 1984 ↓, s. 147–148.
- ↑ John Rainwater, Weak convergence of bounded sequences, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 999.
- ↑ Fabian et al. 2011 ↓, s. 140.
Bibliografia
- Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
- Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
- MariánM. Fabian MariánM. i inni, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, New York: Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-1-4419-7514-0 .