Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość -wymiarowa jest większa niż zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitą[1]. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie Blichfeldta[2].
Wersja twierdzenia dla ogólniejszych krat w przestrzeni euklidesowej
Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.
W przypadku, gdy zbiór jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:
jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć[3]. Istotnie, niech będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru wynosi jednak nie zawiera punktów kratowych innych niż [4].
Objętość -wymiarowa wynosi tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory
Helmut Koch: Number Theory. Algebraic Numbers and Functions. American Mathematical Society, 2000, seria: Graduate Studies in Mathematics 24. ISBN 978-3-642-58095-6.
Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. ISBN 978-3-662-03983-0.
Sherman Stein, Sandord Szabó: Algebra and tiling. Homomorphisms in the service of geometry. Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1984. ISBN 978-0883850282.
Juliusz Wójcik, O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne”, 10 (1975), s. 19–31.
Literatura dodatkowa
Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.