Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.
W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.
Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:
- Niech
będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny
jest postaci
dla pewnych ![{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4386d3b84b7cd8d60bbe88c280f91a1862a4de)
Dla
oznaczmy
Mocny Nullstellensatz mówi:
- Jeżeli
jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to
gdzie
oznacza radykał ideału
zatem funkcje
są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.
Związek pomiędzy algebrą a geometrią
Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych
zmiennych
ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał
nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym
który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci
dla pewnych
Ponieważ
otrzymujemy, że
dla pewnych
a wtedy oczywiście
co oznacza, że punkt
jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów
Oznaczając przez
zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału
otrzymujemy, że
czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli
jest ideałem maksymalnym, to
oznacza, że pewien punkt
czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu
ale I jest ideałem maksymalnym, zatem
Z drugiej strony,
oraz ideał
jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem
Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej
odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu
Zobacz też
Bibliografia
- Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7. Brak numerów stron w książce
Encyklopedie internetowe (twierdzenie):
- DSDE: Hilberts_nulpunktssætning