Twierdzenie Hilberta o zerach

Twierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane słaby Nullstellensatz oraz mocny Nullstellensatz.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje ideały maksymalne w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:

Niech ${\displaystyle k}$ będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny ${\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ jest postaci ${\displaystyle I=(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n})}$ dla pewnych ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in k}$

Dla ${\displaystyle S\subseteq k^{n},}$ oznaczmy ${\displaystyle I(S)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall s\in S\quad f(s)=0\}.}$ Mocny Nullstellensatz mówi:

Jeżeli ${\displaystyle J\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to ${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}},}$ gdzie ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ oznacza radykał ideału ${\displaystyle J,}$ zatem funkcje ${\displaystyle I,V}$ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy ideałami radykalnymi a rozmaitościami algebraicznymi.

Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych ${\displaystyle n}$ zmiennych ${\displaystyle f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\dots ,f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0}$ ma rozwiązanie: niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że ideał ${\displaystyle I=(f_{1},\dots ,f_{k})}$ nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$ dla pewnych ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}.}$ Ponieważ ${\displaystyle f_{i}\in I\subseteq {\mathfrak {m}},}$ otrzymujemy, że ${\displaystyle f_{i}=(x_{1}-a_{1})g_{i1}+(x_{2}-a_{2})g_{i2}+\ldots +(x_{n}-a_{n})g_{in},}$ dla pewnych ${\displaystyle g_{ij}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ a wtedy oczywiście ${\displaystyle f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})=0,}$ co oznacza, że punkt ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}.}$

Oznaczając przez ${\displaystyle V(I)=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in k^{n}:\forall f\in I\,f(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})=0\}}$ zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału ${\displaystyle I,}$ otrzymujemy, że ${\displaystyle I\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]\Rightarrow V(I)\neq \emptyset ,}$ czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli ${\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ jest ideałem maksymalnym, to ${\displaystyle V(I)\neq \emptyset }$ oznacza, że pewien punkt ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I),}$ czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu ${\displaystyle \phi :k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k,\phi (x_{i})=a_{i},}$ ale I jest ideałem maksymalnym, zatem ${\displaystyle I=\ker \phi .}$ Z drugiej strony, ${\displaystyle x_{i}-a_{i}\in \ker \phi ,}$ oraz ideał ${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\subseteq \ker \phi }$ jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem ${\displaystyle I=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n}).}$

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej ${\displaystyle k^{n}}$ odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu ${\displaystyle I\triangleleft k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$

• twierdzenie Hilberta o bazie

• Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7. Brak numerów stron w książce