Twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina – twierdzenie analizy matematycznej nawiązujące do twierdzenia Fubiniego w kontekście całki Riemanna. Twierdzenie to zostało udowodnione przez G. M. Fichtenholza[1] i L. Lichtensteina[2].
Sformułowanie: Niech
![{\displaystyle f\colon [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738344f4ffd0963db03f18ed470770d10f76cd75)
będzie taką funkcją, że dla każdego y ∈ [0,1] funkcja
![{\displaystyle x\mapsto f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a451242eb379a49116f28b9ffaa0047bb67bf04b)
jest całkowalna w sensie Riemanna oraz dla każdego x ∈ [0,1] funkcja
![{\displaystyle y\mapsto f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fff5b3304ce874b1ec7c97502cf37c8b0e615f2)
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a. Wówczas funkcje:
![{\displaystyle F_{1}(x)=\int \limits _{0}^{1}f(x,y)\,{\mbox{d}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0210ca4d5183492a391e7d1a5c6c2e84d719d8)
![{\displaystyle F_{2}(y)=\int \limits _{0}^{1}f(x,y)\,{\mbox{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbc94180edc7d324d0e03fc9a81162516427618)
są całkowalne, odpowiednio, w sensie Riemanna i Lebesgue'a oraz
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}F_{1}(x)\,{\mbox{d}}x=\int \limits _{0}^{1}F_{2}(y)\,{\mbox{d}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c900e4c6be4b5138d853676daa14062b8a38e27b)
Przypisy
- ↑ G. Fichtenholz, Un théorème sur l'intégration sous le signe integrale, Rend. Cire. Mat. Palermo 36 (1913), 111-114.
- ↑ L. Lichtenstein, Über die Integration eines bestimmten Integrals in Bezug auf einen Parameter. Göttingen Nachr. (1910), 468-475.
Bibliografia
- V.I. Bogachev, Measure theory Vol. 1, Springer 2007, ISBN 978-3-540-34513-8