Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji

Ten artykuł dotyczy twierdzenia o przybliżeniach. Zobacz też: inne twierdzenia o tej samej nazwie.

Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej. Stwierdza ono, że dla dowolnej liczby niewymiernej α i dowolnej liczby naturalnej Q istnieją liczby całkowite ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle 0<q\leqslant Q}$ takie, że spełniona jest nierówność:

${\displaystyle |q\cdot \alpha -p|<{\frac {1}{Q}}.}$

Jeżeli przepisać tę nierówność w postaci:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qQ}},}$

natychmiast można stąd wywnioskować, że nierówność

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}},}$

spełniona jest dla nieskończenie wielu par liczb względnie pierwszych p i q.

Elementarny dowód twierdzenia można przeprowadzić w oparciu o zasadę szufladkową.

• liczba Liouville’a
• twierdzenie Rotha

• Wojciech Czerwiński, O przybliżaniu ułamkami, Miesięcznik „Delta”, marzec 2021 [dostęp 2021-03-04].