System Trachtenberga
![]() | Ten artykuł od 2023-06 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
System Trachtenberga – metoda szybkiego liczenia w pamięci iloczynów, wymyślona przez żydowskiego matematyka Jakowa Trachtenberga w czasie, gdy przebywał on w niemieckim obozie koncentracyjnym.
Uwagi wstępne
- Słowem „sąsiad” opisujemy cyfrę znajdującą się po prawej stronie danej cyfry. Gdy dana cyfra nie ma sąsiada, przyjmujemy 0.
- Każdej liczbie, na której wykonujemy mnożenie, dodajemy z przodu 0 (np. liczbę 3461, zapisujemy jako 03461).
- Jako połowę danej cyfry rozumiemy jej połowę zaokrągloną do całości w dół, np. połowa 9 to 4, połowa 1 to 0, połowa 0 to 0.
Mnożenie przez 12
- Rozważamy liczbę 7117. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 07117.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Mnożymy każdą cyfrę przez 2 i dodajemy do niej sąsiada.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 7 — 7 x 2 + 0 (brak sąsiada) = 1/4 (czwórka zostaje, jedynka idzie w dół)
- 1 — 1 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/0
- 1 — 1 x 2 + 1 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 4
- 7 — 7 x 2 + 1 (sąsiad) = 1/5
- 0 — 0 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 8
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 85404.
Mnożenie przez 11
- Rozważamy liczbę 2345. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 02345.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Do każdej cyfry dodajemy jej sąsiada.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 5 — 5 + 0 (brak sąsiada) = 5
- 4 — 4 + 5 (sąsiad) = 9
- 3 — 3 + 4 (sąsiad) = 7
- 2 — 2 + 3 (sąsiad) = 5
- 0 — 0 + 2 (sąsiad) = 2
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 25795.
Mnożenie przez 9
- Rozważamy liczbę 34567. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 034567.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10.
- Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy sąsiada.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 7 —10 - 7 =3
- 6 — (9 - 6) + 7 (sąsiad) = 1/0
- 5 — (9 - 5) + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
- 4 — (9 - 4) + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
- 3 — (9 - 3) + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
- 0 — (9 - 0) + 3 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 311103.
Mnożenie przez 8
- Rozważamy liczbę 45678. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 045678.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10. Wynik mnożymy przez 2.
- Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Dodajemy sąsiada.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 8 — (10 - 8) x 2 = 4
- 7 — (9 - 7) x 2 + 8 (sąsiad) = 1/2
- 6 — (9 - 6) x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/4
- 5 — (9 - 5) x 2 + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/5
- 4 — (9 - 4) x 2 + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/6
- 0 — (9 - 0) x 2 + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 2/3 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 365424.
Mnożenie przez 7
- Rozważamy liczbę 56789. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 056789.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Podwajamy każdą cyfrę i dodajemy do niej połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 9 — 9 x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 2/3
- 8 — 8 x 2 + 4 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 2/2
- 7 — 7 x 2 + 4 (sąsiad) + 5 (7 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 2/5
- 6 — 6 x 2 + 3 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 1/7
- 5 — 5 x 2 + 3 (sąsiad) + 5 (5 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/9
- 0 — 0 x 2 + 2 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 3
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 397523.
Mnożenie przez 6
- Rozważamy liczbę 67890. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 067890.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Dodajemy do każdej cyfry połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 0 — 0 + 0 (brak sąsiada) = 0
- 9 — 9 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 1/4
- 8 — 8 + 4 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/3
- 7 — 7 + 4 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/7
- 6 — 6 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/0
- 0 — 0 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 407340.
Mnożenie przez 5
- Rozważamy liczbę 91372. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 091372.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Każdej cyfrze przypisujemy połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 2 — 0 (brak sąsiada) = 0
- 7 — 1 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) = 6
- 3 — 3 (połowa sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 8
- 1 — 1 (połowa sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 6
- 9 — 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 5
- 0 — 4 (połowa sąsiada) = 4
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 456860.
Mnożenie przez 4
- Rozważamy liczbę 8621. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 08621.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
- Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 1 — (10 - 1) + 0 (brak sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 1/4
- 2 — 7 + 0 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 8
- 6 — 3 + 1 (połowa sąsiada) = 4
- 8 — 1 + 3 (połowa sąsiada) = 4
- 0 — 9 + 4 (połowa sąsiada) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 34484.
Mnożenie przez 3
- Rozważamy liczbę 5083. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 05083.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
- Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 3 — (10 - 3) x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 1/9
- 8 — (9 - 8) x 2 + 1 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4
- 0 — (9 - 0) x 2 + 4 (połowa sąsiada) = 2/2
- 5 — (9 - 5) x 2 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (5 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 1/5
- 0 — (9 - 0) x 2 + 2 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 2/1 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 15249.
Mnożenie przez 2
- Rozważamy liczbę 9870. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 09870.
- Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
- Podwajamy każdą cyfrę.
- Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą lub równą 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.
Rozwiązanie:
- 0 — 0 x 2 = 0
- 7 — 7 x 2 = 1/4
- 8 — 8 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/7
- 9 — 9 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/9
- 0 — 0 x 2 + 1 (ta z góry) = 1
Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 19740.