Rozkład macierzy
Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.
Diagonalizacja
Osobny artykuł: Diagonalizacja.
Diagonalizacja to przedstawienie macierzy w postaci diagonalnej, czyli
gdzie:
- – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,
- – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.
Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).
Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.
Rozkład Jordana
Osobny artykuł: Postać Jordana.
Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy w postaci Jordana, czyli
gdzie:
- – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,
- – macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.
Jeśli macierz jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.
Rozkład wartości osobliwych
Osobny artykuł: Rozkład wartości osobliwych.
Rozkład wartości osobliwych (nad ) to przedstawienie macierzy w postaci
gdzie:
- – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
- i – macierze ortogonalne.
Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.
Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych to
gdzie:
- – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
- i – macierze unitarne.
Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.
Rozkład LU
Osobny artykuł: Metoda LU.
Rozkład LU to przedstawienie macierzy w postaci
gdzie:
- – dolna macierz trójkątna,
- – górna macierz trójkątna.
Rozkład Choleskiego
Osobny artykuł: Rozkład Choleskiego.
Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej w postaci
gdzie:
- – dolna macierz trójkątna.
Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej w postaci
gdzie:
- – dolna macierz trójkątna.
Rozkład biegunowy
Osobny artykuł: Rozkład biegunowy operatora.
Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy w postaci
gdzie: