Reguła równoległoboku

Ten artykuł dotyczy zależności w równoległoboku. Zobacz też: metoda równoległoboku dodawania wektorów.
Równoległobok. Boki zaznaczono kolorem niebieskim, przekątne – kolorem czerwonym.

Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Dla równoległoboku A B C D , {\displaystyle ABCD,} zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok, można zapisać ją wzorem

( | A B | ) 2 + ( | B C | ) 2 + ( | C D | ) 2 + ( | D A | ) 2 = ( | A C | ) 2 + ( | B D | ) 2 . {\displaystyle (|AB|)^{2}+(|BC|)^{2}+(|CD|)^{2}+(|DA|)^{2}=(|AC|)^{2}+(|BD|)^{2}.}

Jeżeli równoległobok jest prostokątem, to przekątne mają równe długości, a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa. W ogólności jednak kwadrat długości żadnej z przekątnych nie jest sumą kwadratów długości dwóch boków.

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach unitarnych wyrażenie reguły równoległoboku sprowadza się do tożsamości algebraicznej nazywanej często właśnie tożsamością równoległoboku:

2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 = ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 , {\displaystyle 2\|\mathbf {x} \|^{2}+2\|\mathbf {y} \|^{2}=\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}+\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2},}

gdzie:

‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle .}

Przestrzenie unormowane

Większość rzeczywistych i zespolonych unormowanych przestrzeni liniowych nie jest wyposażonych w iloczyny skalarne, ale we wszystkich określone są normy (stąd nazwa). Z tego powodu można obliczyć wartości wyrażeń po obu stronach powyższej równości. Ważnym faktem jest, iż jeżeli spełniona jest powyższa tożsamość, to norma musiała powstać w standardowy sposób z pewnego iloczynu skalarnego (została przez niego indukowana). Dodatkowo iloczyn skalarny ją generujący wyznaczony jest jednoznacznie, co jest konsekwencją tożsamości polaryzacyjnej; w przypadku rzeczywistym dany jest on wzorem

⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\frac {\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}}{4}}}

lub, równoważnie,

‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 2 {\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} \|^{2}-\|\mathbf {y} \|^{2}}{2}}} albo ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 2 . {\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} \|^{2}+\|\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}}{2}}.}

W przypadku zespolonym wzór ma postać:

⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 + i ‖ i x − y ‖ 2 − ‖ i x + y ‖ 2 4 . {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\frac {\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}}{4}}+i{\frac {\|i\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}-\|i\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}}{4}}.}

Linki zewnętrzne

  • Prosty dowód reguły równoległoboku na UNLV Kappa Sigma
  • Reguła równoległoboku: dowód bez słów na cut-the-knot
  • Dowód reguły równoległoboku na Planet Math