Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa[1] spełniającej odpowiednie aksjomaty.
Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.
Definicje
Zobacz też: funkcja addytywna zbioru, przestrzeń mierzalna i miara.
Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej przebiega w trzech etapach:
- ustalenie niepustego zbioru zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
- określenie na nim σ-ciała zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
- określenie na unormowanej miary – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).
Definicja prawdopodobieństwa
Niech będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.
Funkcję o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:
- nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
- dla dowolnego zdarzenia
- unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
- przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):
przy czym gdy
Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.
Definicja przestrzeni probabilistycznej
Układ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.
Własności prawdopodobieństwa
Zobacz też: miara – własności.
Niech
Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:
- prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
- prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
- skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
- dla przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
- prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
- przy czym jest zdarzeniem przeciwnym do
- ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
- monotoniczność:
- dla
- prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):
Definicje prawdopodobieństwa
Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)
jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru a prawdopodobieństwo dane jest wzorem
- dla każdego zbioru
gdzie oznacza liczbę elementów zbioru Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[a].
Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)
Niech dany będzie zbiór oraz zadana będzie miara na tym zbiorze tak, że miara zbioru jest skończona.
Wtedy zbiór może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.
Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary podzbioru przez miarę przestrzeni tj.
- dla każdego zbioru
Np.
- jest przedziałem jednostkowym
- jest σ-ciałem podzbiorów przedziału które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.
- jest miarą Lebesgue’a określoną na tj.
Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.
Przykłady innych miar prawdopodobieństwa
1) Niech będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś niech będzie zmienną losową. Jeżeli jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) tj.
- dla dowolnego oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na
to jest miarą probabilistyczną, wobec czego również jest przestrzenią probabilistyczną.
2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Niech oraz jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj. dla (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
Przypisy
- ↑ Przestrzeń probabilistyczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
Bibliografia
- W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.
- PWN: 3962326
- Britannica: topic/probability-space