Promień spektralny elementu
algebry zespolonej z jedynką
– liczba nieujemna
zdefiniowana wzorem
![{\displaystyle \nu _{A}(a)=\sup\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1446a0c50c08245d89f9bc7174a0378d94882b40)
gdzie symbol
oznacza widmo elementu
w algebrze
tzn. zbiór
![{\displaystyle \sigma _{A}(a)=\{z\in \mathbb {C} \colon ze_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f97a5735fdf2d71bc9822fc2a2577636cdd18f1)
przy czym
oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze
oraz
jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu
jest puste, definiuje się
![{\displaystyle \nu _{A}(a)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2a68361f4d95f9f0798854578f10ac15708bc)
Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element
algebry
która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry
powstałej z
poprzez dołączenie jedynki.
Podstawowe własności. Wzór Gelfanda
Niech
będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech
będzie dowolnym elementem
Wówczas
- widmo
jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli
to promień spektralny
jest dodatni. - dla każdej liczby naturalnej
oraz dla każdego ![{\displaystyle r>\nu _{A}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38affd35e8ae3565de4ae3d19de2009266131ffc)
![{\displaystyle a^{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{|z|=r\}}\zeta ^{k}(\zeta e_{A}-a)^{-1}d\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa388bab5eb774e44212241ce680c89f26ddeac)
![{\displaystyle \nu _{A}(a)=\inf\{\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}\colon \;n\in \mathbb {N} \}=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc66242b1e20006bcbbd5b759751bb80c81a0c94)
Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że
![{\displaystyle \nu _{A}(a)=\max\{|z|\colon z\in \sigma _{A}(a)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca76ee1f2bc4ac642da49f3dae9809c0a5fa36c5)
Jeżeli
jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.
Własności
Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej
tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej
jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz
są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.
- Jeżeli
jest skalarem, to
![{\displaystyle \nu (\lambda T)=|\lambda |\nu (T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39397fffc02eab4c3ef1f46c7edb73cce54bb962)
- Jeżeli
jest liczbą naturalną, to
![{\displaystyle \nu (T^{k})=\nu (T)^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe6220f54db4823f9270e8b6fa0ec686fe0514f)
jeżeli ponadto
to
![{\displaystyle \nu (T_{1}T_{2})\leqslant \nu (T_{1})\nu (T_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dcda92056840686b9e41cb763a1f78cd080b33)
![{\displaystyle \nu (T_{1}+T_{2})\leqslant \nu (T_{1})+\nu (T_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e678041c3eaa17cec666fbd8981d79e551e68b)
- Jeżeli
jest przestrzenią Hilberta oraz
jest operatorem normalnym, to
![{\displaystyle \nu (T)=\|T\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea456778159acb369cbdf457fbfbc7e795bcb7b)
Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach
Niech
będzie C*-algebrą oraz nieh
będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w
). Niech
oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj.
Wówczas dla dowolnego
oraz liczby naturalnej
zachodzą wzory
![{\displaystyle \|\pi (x^{k})\|=\inf _{y\in I}\|(x+y)^{k}\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c0cbda5d6acc50e2696e066fe81e21806ad9e9)
oraz
![{\displaystyle \nu {\big (}\pi (x){\big )}=\inf _{y\in I}\nu (x+y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f4d36198df3891d620864df2b380b0889b4b48)
Jest to twierdzenie udowodnione przez G.K. Pedersena[2].
Przypisy
- ↑ I. M. Gelfand, Normierte Ringe, „Mat. Sb.” (N.S.) 9 (51) (1941), s. 3–24.
- ↑ G. K. Pedersen, Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras, „Mathematische Zeitschrift” 148 (1976), s. 299–300.
Bibliografia
- H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.