Problemy Hilberta
![]() | Ten artykuł od 2010-06 wymaga zweryfikowania podanych informacji: zwłaszcza dot. aktualnego stanu wiedzy i do uwzględnienia rozbieżności z en wiki (problemy nr. 5, 6, 11, 13, 15, 23). Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Problemy Hilberta – lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta w 1900 roku, pokazująca stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku[1][2]. Lista ta była tematem jego wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, jednak z powodu braku czasu Hilbert zdążył omówić wówczas jedynie 10 z owych problemów[3][4].
Sam Hilbert prawdopodobnie nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności wielu spośród postawionych przez siebie problemów. Próby ich rozwiązania wpłynęły znacząco na rozwój matematyki w XX wieku.
Do początku XXI w. większość problemów Hilberta została rozwiązana, choć niektóre problemy sformułowane są zbyt ogólnie, by można to było jednoznacznie stwierdzić. W 2021 roku do nierozwiązanych wciąż problemów należy m.in. problem numer 8, który zawiera dwie hipotezy dotyczące liczb pierwszych (hipotezę Goldbacha i hipotezę Riemanna).
Lista problemów Hilberta
Nr | Krótki opis | Aktualny status |
---|---|---|
1 | Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych) | Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości. W oparciu o te aksjomaty nie można jej ani udowodnić, ani obalić. |
2 | Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (tzn., że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń) | Nie ma zgody co do rozstrzygnięcia, mający pomóc w rozwiązaniu problemu program Hilberta został podważony przez twierdzenie Gödla, jednak jest to wciąż przedmiotem debaty. |
3 | Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi? | Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład. |
4 | Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktami | Problem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków. |
5 | Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego? | Rozwiązany w 1953 r. – dowodu dostarcza twierdzenie Gleasona-Montgomery'ego-Zippina. |
6 | Aksjomatyzacja całości fizyki | Problem został uznany za niematematyczny, rozwiązany tylko dla niektórych dziedzin. |
7 | Czy liczba a b, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest algebraiczną liczbą niewymierną, jest liczbą przestępną? | Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela Twierdzenie Gelfonda-Schneidera. |
8 | Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych) | Problem otwarty. |
9 | Dowód uogólnionego prawa wzajemności dla każdego algebraicznego ciała liczbowego | Rozwiązany częściowo. W 1927 r. Emil Artin podał dowód dla rozszerzeń abelowych (twierdzenie Artina o wzajemności). Przypadek ogólny pozostaje otwarty. |
10 | Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznego | Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe. |
11 | Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi | Rozwiązany w 1924 r. przez Helmuta Hassego. |
12 | Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o ciałach abelowych na dowolne algebraiczne ciała liczbowe | Problem otwarty. |
13 | Rozwiązywanie wszystkich równań 7. stopnia przy użyciu funkcji dwóch zmiennych | Rozwiązany. Możliwość rozwiązania wszystkich takich równań udowodnił Władimir Arnold razem z Andriejem Kołmogorowem |
14 | Dowód skończoności konstrukcji pewnych podpierścieni | Rozwiązany. Odpowiedź przecząca z uwagi na kontrprzykład znaleziony w 1959 r. przez Masayoshi Nagatę. |
15 | Ścisłe sformułowanie rachunku Schuberta | Rozwiązany w 1930 r. przez Van der Waerdena. |
16 | Postulat badań nad topologią krzywych i powierzchni algebraicznych | Problem otwarty. |
17 | Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratów | Rozwiązany. Znaleziono górne ograniczenie dla liczby wymaganych składników. |
18 | Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni? Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer? | Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację. |
19 | Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne? | Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca. Dowód podany przez Ennio de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha. |
20 | Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania? | Rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w.; wieloletnie wysiłki zwieńczone w 1998 r. skonstruowaniem dowodu dla przypadku nieliniowego. |
21 | Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych z przypisanymi grupami monodromii | Rozwiązany w 1957 r. przez Helmuta Rörla. Odpowiedź twierdząca lub przecząca, w zależności od bardziej szczegółowego sformułowania problemu. |
22 | Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznych | Rozwiązany w 1907 r. przez Henriego Poincarégo. |
23 | Dalszy rozwój rachunku wariacyjnego | Rozwiązany. |
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Digizeitschriften [online], www.digizeitschriften.de [dostęp 2022-10-01] .
- ↑ HILBERT: MATHEMATICAL PROBLEMS [online] [dostęp 2022-10-01] .
- ↑ Hilberta problemy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ 1900 ICM - Paris [online], Maths History [dostęp 2022-10-01] (ang.).
Linki zewnętrzne
- Polskojęzyczne
- Strona o problemach Hilberta. matematycy.interklasa.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-12-06)].
- Obcojęzyczne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hilbert's Problems, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Hilbert problems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
- Przemówienie Hilberta (ang.)
Hilbert's 15th Problem: Schubert Calculus, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 10 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].
- Oryginalny tekst paryskiego przemówienia Hilberta. mathematik.uni-bielefeld.de. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-02-05)]. (niem.)
- PWN: 3911681
- Britannica: topic/Hilberts-23-problems
- Universalis: problemes-de-hilbert
- БРЭ: 2359915