Paradoks przyjaźni

Paradoks przyjaźni – paradoks w socjologii, zgodnie z którym większość osób zauważa, że większość ich przyjaciół średnio ma więcej przyjaciół niż oni sami. Paradoks został zaobserwowany i opisany w 1991 roku przez Scotta L. Felda^[1][2][3], socjologa ze State University of New York^[4].

Zjawisko wynika z matematycznych właściwości sieci społecznych i jest bezpośrednio związane z nierównością między średnią arytmetyczną i geometryczną, oraz nierównością Cauchy’ego-Schwarza. Przekłada się także na inne typy relacji i skorelowanych z nimi cech w takich sieciach, na przykład przeciętną liczbę partnerów seksualnych, publikacji naukowych, wyższy poziom zadowolenia z życia, konsumpcji alkoholu itp.^{[5][6][7][8][9]} Paradoks może pogłębiać złudzenie powszechności wybranych cech w całym społeczeństwie, zwłaszcza w regionach sieci społecznych, które powstały na bazie podobieństw charakteru lub opinii^[10].

W 2012 roku paradoks został zilustrowany na bazie realnych danych socjometrycznych przez badaczy z Cornell University, którzy przeanalizowali 721 mln użytkowników portalu Facebook^[4]. W badaniu użytkowników Twittera wykazano, że zasada sprawdza się w przypadku 98% użytkowników portalu^[11].

Paradoks przyjaźni może być użyteczny do przewidywania i modyfikacji rozwoju epidemii, mód, zachowań czy pomysłów^[1]. Badania tego typu w czasie epidemii wirusa grypy H1N1 w 2009 roku przeprowadzili Nicholas Christakis i James Fowler, którzy przeanalizowali grupę losowo wybranych studentów Harvard University. Poprosili oni badanych o wskazanie swoich przyjaciół. Grupa przyjaciół zachorowała średnio dwa tygodnie wcześniej niż grupa wybrana losowo^[1][4].

W formalnym modelu zjawiska Feld zakłada, że sieć społeczna jest reprezentowana przez graf nieskierowany ${\displaystyle G=(V,E)}$ ze zbiorem wierzchołków ${\displaystyle V}$ i krawędzi ${\displaystyle E}$ odpowiadających osobom i ich znajomościom (przyjmuje więc, że znajomość jest relacją symetryczną). W takim modelu przeciętnej liczbie znajomych odpowiada przeciętny stopień wierzchołków (liczba połączeń) w całym grafie. Dla osoby reprezentowanej przez wierzchołek ${\displaystyle v,}$ mający ${\displaystyle d(v)}$ krawędzi, przeciętna liczba znajomych ich znajomych ${\displaystyle (\mu )}$ wynosi:

${\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.}$

Wartość oczekiwana takiej funkcji dla całego grafu wynosi:

${\displaystyle {\frac {\sum _{v\in V}d(v)^{2}}{2|E|}}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }},}$

gdzie ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ to wariancja stopnia wierzchołków w grafie. Dla grafu o różnorodnych stopniach wierzchołków (co jest typowe dla sieci społecznych), zarówno ${\displaystyle \mu ,}$ jak i ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ jest dodatnie, co sprawia, że przeciętny stopień u sąsiada losowego wierzchołka w grafie jest ściśle większy od stopnia losowego wierzchołka.