Płaszczyzna Z

Płaszczyzna Z, płaszczyzna z – płaszczyzna zmiennych zespolonych uzyskanych na drodze przekształcenia do dziedziny ${\displaystyle z}$ za pomocą transformaty Z – w teorii sterowania jedno z fundamentalnych narzędzi analizy i syntezy układów dyskretnych. Jej odpowiednikiem dla układów czasu ciągłego jest płaszczyzna S.

Zmienna ${\displaystyle z}$ jest zmienną zespoloną z częścią rzeczywistą i częścią urojoną. Innymi słowy ${\displaystyle z}$ można zdefiniować w następujący sposób:

${\displaystyle z=\operatorname {Re} (z)+j\operatorname {Im} (z).}$

Jako że zmienna ${\displaystyle z}$ może być rozbita na dwa niezależne komponenty, to często sensowne jest przedstawienie tej zmiennej na płaszczyźnie Z, gdzie oś pozioma reprezentuje rzeczywistą część ${\displaystyle z,}$ a pionowa oś – amplitudę urojonej części ${\displaystyle z.}$

Warto przy tym zauważyć, że jeśli zdefiniujemy ${\displaystyle z,}$ korzystając z wyrażeń transformaty z gwiazdką:

${\displaystyle z=e^{sT},}$

to można dokonać rozdzielenia ${\displaystyle s}$ na część rzeczywistą i urojoną:

${\displaystyle s=\sigma +j\omega .}$

Po włączeniu powyższego do równania na ${\displaystyle z}$ uzyskuje się:

${\displaystyle z=e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{\sigma T}e^{j\omega T}.}$

Korzystając z wzoru Eulera, można rozdzielić eksponentę zespoloną jako:

${\displaystyle z=e^{\sigma T}(\cos(\omega T)+j\sin(\omega T)).}$

Jeśli ponadto zdefiniuje się nowe zmienne ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle \phi ,}$ takie że:

${\displaystyle M=e^{\sigma T},}$

${\displaystyle \phi =\omega T,}$

można zapisać ${\displaystyle z}$ korzystając z wyrażeń ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle \phi ,}$ jako równanie Eulera:

${\displaystyle z=M\cos(\phi )+jM\sin(\phi ).}$

Co stanowi reprezentację biegunową (polarną) zmiennej ${\displaystyle z,}$ z amplitudą funkcji biegunowej ${\displaystyle (M)}$ opartą na części rzeczywistej zmiennej ${\displaystyle s,}$ a kąt funkcji biegunowej ${\displaystyle (\phi )}$ oparty jest na urojonej części ${\displaystyle s.}$

Uwaga: Ściśle rzecz biorąc nazwy zmiennych zapisuje się małą literą (np. zmienna ${\displaystyle s}$) a płaszczyzn i transformat dużą: płaszczyzna Z, transformata Z. W praktyce jednak nie zawsze jest to przestrzegane i spotyka się zapisy w każdym przypadku, także z małą literą np. płaszczyzna z.

• płaszczyzna S
• płaszczyzna w