Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.
Notacja wielowskaźnikowa
Wielowskaźnik
-wymiarowy to wektor
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c3f0a918359be2982e61ee82764a002688d1e7)
nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników
oraz
określa się:
- sumę i różnicę (po współrzędnych),
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\dots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9070388b8226dcbab59ec5c5fe897aabe357c38)
- porządek częściowy,
![{\displaystyle \alpha \leqslant \beta \iff \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\qquad \forall _{i\in \{1,\dots ,n\}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c751c067475b9da1d5e9a2b175311f3e70394e7c)
- sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e0a6143839cd0c87eb97666140331cb7745bfb)
- silnię,
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e636e1562456ab7acf43cc9fad3387869de711)
- symbol Newtona,
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951e2ce6e78b7ca4aed8968ee1b19c603ac7ed4d)
- potęgę,
![{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87ef02ff77ef2dd3d9707be7914e45eef659aed)
- pochodną cząstkową wyższych rzędów,
gdzie ![{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:={\tfrac {\partial ^{\alpha _{i}}}{\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c21c1a135bfd50e67b22c9d7e388fedd4a57405)
Niektóre zastosowania
Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:
Twierdzenie o wielomianie
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}~{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abf6a0907cb8ca795bd99484b0e4bc00c17f513)
Dla funkcji gładkich
i
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d71749c3c6d8588ca5a66a48742180d50a2bb6)
Dla funkcji analitycznej
o
zmiennych jest
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b816a590541fdbcf02ea0d82cec5850da37d7f1)
Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}~{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98674f614cd50fdefbaaab28c8716fe64a15c937)
gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się
![{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}~{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int \limits _{0}^{1}~{(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9733f5d641375d51949c2cf8bb05a2bb17729d99)
Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci
Operator różniczki cząstkowej
-tego rzędu
zmiennych zapisuje się formalnie jako
![{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leqslant N}~{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0a974719b93aedbaa6808a9e59821e54c03373)
Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie
jest
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega }~{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{\Omega }~{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d456fe7e035dd99e07d9f019a25960f5dfe71b38)
Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.
Przykładowe twierdzenie
Jeżeli
są wielowskaźnikami, a
to
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19def266466811d67f44cf9ab373fcb2d7d07b67)
Dowód
Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli
wtedy
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f1a8df348ab3c9a7b4cd271e8772496f7960f8)
Załóżmy, że
Wtedy
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}\\[1ex]&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11dbe917498ed734060e62444f132cd36366598)
Dla każdego
funkcja
zależy wyłącznie od
Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe
redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego
Stąd z równania (1) wynika, że
znika, jeśli
dla przynajmniej jednego
W przeciwnym wypadku, tzn. gdy
jako wielowskaźniki, wtedy
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dc5027a5bbd718f053ca6514950f6e600c6087)
dla każdego
skąd wynika twierdzenie.
Bibliografia
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9.