Norma operatorowa

Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są przestrzeniami unormowanymi, to wzór

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\inf\{c>0:\|Tx\|\leqslant c\|x\|{\mbox{ dla każdego }}x\in X\}\end{aligned}}}$

określa normę w przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$ operatorów liniowych i ciągłych określonych na ${\displaystyle X}$ i wartościach w ${\displaystyle Y.}$

Zachodzą ponadto następujące równości

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|\leqslant 1\}\\&=\sup\{\|Tx\|:x\in X,\;\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in X,\;x\neq 0\right\},\end{aligned}}}$

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ ma co najmniej jeden wymiar.

Zupełność przestrzeni operatorów

Przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y)}$ jest przestrzenią Banacha, gdy ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Banacha^[1].

Dowód. Niech ${\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będzie ciągiem Cauchy’ego w ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}$ W szczególności, ${\displaystyle (T_{n}x)_{n=1}^{\infty }}$ jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ ponieważ

${\displaystyle \|T_{n}x-T_{m}x\|\leqslant \|T_{n}-T_{m}\|\|x\|.}$

Używając zupełności ${\displaystyle Y,}$ możemy zdefiniować przyporządkowanie ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ wzorem

${\displaystyle Tx:=\lim _{n\to \infty }T_{n}x.}$

W szczególności ${\displaystyle T}$ jest operatorem liniowym, który jest punktową granicą ciągu ${\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}$ operatorów liniowych. Ponadto,

${\displaystyle \|Tx\|\leqslant \sup _{n\in \mathbb {N} }\|T_{n}x\|\leqslant \sup _{n\in \mathbb {N} }\|T_{n}\|\cdot \|x\|<\infty ,}$

z uwagi na to, że ciągi Cauchy’ego są ograniczone. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że operator ${\displaystyle T}$ jest ograniczony. Dla danej liczby ${\displaystyle \epsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle N,}$ że dla ${\displaystyle n,m\geqslant N}$ zachodzi

${\displaystyle \|T_{n}-T_{m}\|<\epsilon .}$

W szczególności

${\displaystyle \|T_{n}x-T_{m}x\|<\epsilon }$

dla elementów ${\displaystyle x}$ z przestrzeni ${\displaystyle X,}$ dla których ${\displaystyle \|x\|\leqslant 1}$ oraz ${\displaystyle n,m\geqslant N.}$ Ostatecznie także w tym przypadku

${\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|\leqslant \epsilon ,}$

co pokazuje, że ciąg ${\displaystyle (T_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny do ${\displaystyle T.}$

Przypisy

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.