Norma macierzowa – naturalny odpowiednik normy wektorowej dla macierzy.
Niech
oznacza przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia
nad ciałem
liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Normą macierzową nazywa się normę określoną na
spełniającą dodatkowo warunek podmultiplikatywności,
![{\displaystyle \|\mathbf {AB} \|\leqslant \|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7957067a0faad6ef8fcdfbbf7a82c24263ca8ac1)
dla dowolnych macierzy
Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem
![{\displaystyle |\mathbf {A} |={\big [}|a_{ij}|{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeedb9395cc82727cf6ae30be3fcd1a57e1ef94d)
gdzie
oznacza wzięcie wartości bezwzględnych (modułów) elementów macierzy.
Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie
oraz
wtedy i tylko wtedy, gdy ![{\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab3dfd50ad38c197f6e89f56d66bb66ae8e49fb)
Normę nazywa się kanoniczną, jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki
przy czym dla
jest ![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|=|a_{11}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d4c011db8f712aeb53887301771ce6593d5f7d)
pociąga
w szczególności ![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\big \|}|\mathbf {A} |{\big \|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53315d5e9d0687c1453ec8df660ae1bb8ecb11f)
Normy indukowane
Jeżeli dane są normy
odpowiednio na przestrzeniach współrzędnych
oraz
gdzie
to normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu
definiuje się jednym z równoważnych wzorów
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {A} \|&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}\leqslant 1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}=1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }\left\{{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{m}}{\|\mathbf {x} \|_{n}}}\colon \mathbf {x} \in K^{n}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc81ea4b92c5c6cb496cbf3e32319aa9e5738aa)
Jeżeli
i w dziedzinie oraz przeciwdziedzinie występuje ta sama norma, to indukowana norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).
Przykłady
Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca
-normie wektorowej to
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{p}=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{p}}{\|\mathbf {x} \|_{p}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4472a8bff13f93f186be228c826de4c4efa86595)
W szczególności normy
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{1}=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8458a753738b4022932e7a2083e16e9b91f691b)
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\infty }=\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9be360a6e5716eacedf65b865cf92fde5ab59d)
są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.
Norma spektralna i promień spektralny
Normę
gdzie
oznacza macierz hermitowską (transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)
gdzie
jest widmem (spektrum) macierzy
nazywa się normą spektralną.
Dla dowolnej normy indukowanej
zachodzi oszacowanie
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geqslant \varrho (\mathbf {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2515960cdcfa3e2d6ebc14104e5606b76e6648)
gdzie
jest promieniem spektralnym
co więcej,
![{\displaystyle \lim _{r\to \infty }~{\sqrt[{r}]{\|\mathbf {A} ^{r}\|}}=\varrho (\mathbf {A} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d9dfd4a0318d96bf47889e69ded12842a53091)
Normy „po współrzędnych”
W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu
do których zastosowano jedne z dobrze znanych norm wektorowych.
Przykładowo korzystając z
-normy wektorowej dostaje się
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fb24bb5d7993c43e98817cf48a0eb7eb0d287d)
Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych
-norm indukowanych (zob. wyżej) oraz
-norm Schattena (zob. niżej).
Szczególnymi przypadkami dla
jest norma Frobeniusa, a dla
norma maksimum.
Norma Frobeniusa
Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta (drugi termin odnosi się zwykle do operatorów określonych na przestrzeniach Hilberta) definiowana jest według wzoru
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{F}={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle }}={\sqrt {\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {A} )}}={\sqrt {\sum |a_{ij}|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df29cfd3727861e45170bef248ab3f357e77a6)
gdzie
jest śladem macierzy
a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach
a
oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia).
Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych.
Norma maksimum
Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla
![{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\text{max}}=\max {\big \{}|a_{ij}|{\big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a7c3505d45d69fb8a78b0e1a507d40a1454206)
Norma ta nie jest podmultiplikatywna.
Zobacz też