Nierówność Bernoulliego

Nierówność Bernoulliego – jedna z najbardziej znanych i podstawowych nierówności w matematyce. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego^[1], który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

Jeżeli ${\displaystyle x\geqslant -1,}$ to:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\leqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad 0<\alpha \leqslant 1}$

oraz:

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\geqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad \alpha \geqslant 1}$

Dla ${\displaystyle \alpha =1}$ obie strony nierówności są równe, natomiast dla ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ równość w każdej z nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x=0.}$

Szczególny przypadek nierówności Bernoulliego otrzymuje się dla ${\displaystyle \alpha }$ będącego liczbą naturalną – często mianem nierówności Bernoulliego określa się tę jej szczególną wersję:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx}$

dla ${\displaystyle n}$ naturalnych.