Moment zatrzymania

Moment zatrzymania – specjalnego typu zmienna losowa, używana w teorii prawdopodobieństwa, a w szczególności przy badaniu procesów stochastycznych.

Reguła zatrzymania czy też momenty zatrzymania są analizowane i wykorzystywane zarówno w teorii prawdopodobieństwa, jak i statystyce, w szczególności przy próbkowaniu ciągów losowych czy w analizie sekwencyjnej. Często momenty zatrzymania są wykorzystywane w technikach dowodzenia twierdzeń metodą „temperowania czasu ciągłego” (szczegóły są w monografii Chunga (1982)).

Moment zatrzymania dla ciągu zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ to zmienna losowa ${\displaystyle \tau }$ o własności takiej, że dla każdego ${\displaystyle t,}$ to czy zdarzenie ${\displaystyle \tau =t}$ zrealizowało się, zależy wyłącznie od realizacji zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t},}$ a ponadto ${\displaystyle Pr(\tau <\infty )=1,}$ tj. ${\displaystyle \tau }$ jest prawie wszędzie skończona. Jeśli skończoność zmiennej losowej ${\displaystyle \tau }$ nie jest wymagana, to mówimy o markowskim momencie zatrzymania. Momenty zatrzymania pojawiają się w teorii decyzji, gdzie reguła zatrzymania jest strategią wskazującą moment zatrzymania obserwacji procesu na podstawie aktualnego i przeszłych stanów procesu w celu zrealizowania założonego celu.

Inna definicja, bardziej ogólna, wykorzystuje pojęcie filtracji. Niech ${\displaystyle (I,\leqslant )}$ będzie uporządkowanym zbiorem indeksów (często ${\displaystyle I=[0,\infty )}$ lub zwarty podzbiór tego przedziału). ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} )}$ jest przestrzenią probabilistyczną z filtracją, to znaczy, jest to przestrzeń probabilistyczna ze zdefiniowaną wstępującą rodziną ${\displaystyle \sigma }$-algebr zwaną filtracją. Wówczas zmienna losowa ${\displaystyle \tau \colon \Omega \to I}$ jest momentem Markowa, jeśli ${\displaystyle \{\tau \leqslant t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ dla każdego ${\displaystyle t\in I.}$ Często, aby uniknąć nieporozumień, mówimy o takiej zmiennej losowej ${\displaystyle \tau }$ iż jest ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-momentem markowskim. Jeśli dodatkowo moment Markowa ${\displaystyle \tau }$ jest skończony z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 1,}$ to nazywamy go momentem zatrzymania.

Inaczej mówiąc, aby ${\displaystyle \tau }$ był momentem markowskim powinno być możliwe stwierdzenie, czy ${\displaystyle \{\tau \leqslant t\}}$ zrealizowało się na podstawie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}.}$

W celu ilustracji podamy przykłady zmiennych losowych które są momentami zatrzymania i takich, które nie spełniają definicji. Rozważmy hazardzistę grającego w ruletkę z kapitałem początkowym 100 $:

• Grając tylko jeden raz, realizujemy moment zatrzymania ${\displaystyle \tau =1.}$
• Momentem zatrzymania jest strategia „graj co najwyżej 500 razy lub do wyczerpania pieniędzy”.
• Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału początkowego (i pożyczam jeśli trzeba)” nie jest momentem zatrzymania, jako że istnieje dodatnie prawdopodobieństwo tego, że nigdy nie zrealizujemy zamierzonego celu.
• Strategia gracza „gram do podwojenia kapitału lub do chwili bankructwa” jest momentem zatrzymania ponieważ zatrzymujemy się z prawdopodobieństwem jeden w skończonym czasie.

Momenty zatrzymania są często wykorzystywane do uogólniania pewnych własności procesów stochastycznych na przypadek w którym żądana własność jest spełniona jedynie lokalnie. Niech ${\displaystyle X}$ będzie procesem a ${\displaystyle \tau }$ momentem zatrzymania. Wówczas oznaczenie ${\displaystyle X^{\tau }}$ wykorzystujemy do oznaczenia procesu ${\displaystyle X}$ zatrzymanego w chwili ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}.}$

Wówczas mówimy, że ${\displaystyle X}$ ma lokalnie własność ${\displaystyle P}$ jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania ${\displaystyle \tau _{n},}$ rosnących do nieskończoności i dla których procesy ${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$ mają własność ${\displaystyle P.}$ Przykłady, dla procesów indeksowanych elementami zbioru ${\displaystyle I=[0,\infty ),}$ są następujące;

• (Lokalny martyngał) Proces ${\displaystyle X}$ jest lokalnym martyngałem, jeśli ma własność càdlàg (trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronna granicę) i istnieje rosnący do nieskończoności ciąg momentów zatrzymania ${\displaystyle \tau _{n}}$ taki, że ${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$ jest martyngałem dla każdego ${\displaystyle n.}$
• (Lokalna całkowalność) Nieujemny i rosnący proces ${\displaystyle X}$ jest lokalnie całkowalny, jeśli istnieje ciąg momentów zatrzymania ${\displaystyle \tau _{n}}$ rosnący do nieskończoności taki, że ${\displaystyle \mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty }$ dla każdego ${\displaystyle n.}$

Momenty zatrzymania o wartościach w ${\displaystyle I=[0,\infty )}$ dzielmy często na typy ze względu na to, czy jest możliwe przewidywanie ich realizacji.

Moment zatrzymania ${\displaystyle \tau }$ jest przewidywalny jeśli jest granicą rosnącego ciągu momentów zatrzymania ${\displaystyle \tau _{n}}$ o własności, iż ${\displaystyle \tau _{n}<\tau ,}$ gdy ${\displaystyle \tau >0.}$ O ciągu ${\displaystyle \tau _{n}}$ mówimy, że anonsuje ${\displaystyle \tau ,}$ a zatem przewidywalny moment zatrzymania jest w tym sensie prognozowalny. Przykładem przewidywalnego momentu zatrzymania jest moment pierwszego osiągnięcia dla procesu ciągłego i uzgodnionego. Jeśli ${\displaystyle \tau }$ jest pierwszą chwilą w której ciągły, rzeczywisty proces ${\displaystyle X}$ jest równy pewnej wartości ${\displaystyle a,}$ to ciągiem anonsującym jest ${\displaystyle \tau _{n},}$ gdzie ${\displaystyle \tau _{n}}$ jest pierwszą chwilą w której ${\displaystyle X}$ jest w odległości ${\displaystyle 1/n}$ od ${\displaystyle a.}$

Osiągalny moment zatrzymania to taki, który może być „przykryty” przez przewidywalne momenty zatrzymania. To znaczy, że moment zatrzymania ${\displaystyle \tau }$ jest osiągalny, jeśli ${\displaystyle P(\tau =\tau _{n}}$ dla pewnego ${\displaystyle n)=1,}$ gdzie ${\displaystyle \tau _{n}}$ są momentami przewidywalnymi.

Moment zatrzymania ${\displaystyle \tau }$ jest całkowicie nieosiągalny jeśli nie może być nigdy „anonsowany” przez rosnący ciąg momentów zatrzymania. Równoważnie, ${\displaystyle P(\tau =\sigma <\infty )=0}$ dla każdego przewidywalnego momentu ${\displaystyle \sigma .}$ Przykładem całkowicie nieosiągalnych momentów zatrzymania są chwile skoków procesu Poissona.

Każdy moment markowski ${\displaystyle \tau }$ może być w jedyny sposób rozłożony na osiągalny i nieosiągalny moment markowski. To oznacza, że istnieją jedyne osiągalny moment markowski ${\displaystyle \sigma }$ oraz całkowicie nieosiągalny moment markowski ${\displaystyle \upsilon }$ takie, że:

${\displaystyle \tau =\sigma ,\;{}}$ gdy ${\displaystyle \sigma <\infty ,}$

${\displaystyle \tau =\upsilon ,\;{}}$ gdy ${\displaystyle \upsilon <\infty ,}$

${\displaystyle \tau =\infty ,\;{}}$ gdy ${\displaystyle \sigma =\upsilon =\infty .}$

• problem sekretarki

• Kai Lai Chung: Lectures from Markov processes to Brownian motion. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. ISBN 0-387-90618-5. Brak numerów stron w książce
• Jakubowski, Jacek; Sztencel, R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2000. ISBN 83-904564-4-3. Brak numerów stron w książce
• Revuz, Daniel and Yor, Marc: Continuous martingales and Brownian motion. Wyd. Third edition. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293. ISBN 3-540-64325-7. Brak numerów stron w książce
• Philip E. Protter: Stochastic integration and differential equations. Wyd. Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag, 2005, seria: Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21. ISBN 3-540-00313-4. Brak numerów stron w książce

• Thomas S.T.S. Ferguson Thomas S.T.S., Who solved the secretary problem?, „Stat. Sci.”, 4, 1989, s. 282–296, ISBN 3-540-74010-4, JSTOR: 2245639 .???
• Albert N. Shiryaev: Optimal Stopping Rules. Springer, 2007. ISBN 3-540-74010-4. Brak numerów stron w książce