Miara wektorowa – w teorii miary, addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą, lecz stanowi uogólnienie koncepcji miary na wartości wektorowe.
Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.
Definicja
Jeśli
jest ciałem zbiorów oraz
przestrzenią unormowaną, to funkcję
spełniającą warunek
![{\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9e741ea4286881a853e18bd54a3aa2d61cff74)
dla wszelkich rozłącznych zbiorów
nazywamy miarą wektorową[1].
Jeśli
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru
to funkcję
nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu
zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała
spełniony jest warunek:
![{\displaystyle \nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbe1a2b0ea219a8e0791e263e1cc2e5b2424c1c)
Wahanie i półwahanie
Jeżeli
jest miarą wektorową, to funkcję
określoną wzorem
gdzie
jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że
nazywamy wahaniem miary wektorowej ![{\displaystyle \nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bafc5c30bf9727eb4c005ff0c0632d555b3b7d)
Funkcję
określoną wzorem
![{\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220b988597708e845afcb36a3f0a6d297dd7f783)
nazywamy półwahaniem miary wektorowej
Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.
Własności
- Jeżeli
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru
a
jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
gdzie
to odpowiednio wahanie górne i dolne.
- Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
- Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
- Jeżeli
jest miarą wektorową, to ![{\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30484c9610d438fff436ce17e58da67a28bc7b7f)
- Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
- Niech
(σ-ciało generowane przez ciało
porównaj: definicję). Jeśli
jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego
zachodzi równość: ![{\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b88aa57a020883995daa72d8bc69fcce81ebf7)
- Jeżeli wahanie miary wektorowej
jest miarą skończoną, to
jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną. - Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
- Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.
Przykłady
Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech
będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru
określmy odwzorowanie
gdzie
jest funkcją charakterystyczną.
Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech
będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja
dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego
gdzie
jest miarą Lebesgue’a.
Wówczas, także
co dowodzi, że
jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.
Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech
będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru
mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja
dana wzorem
dla
jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech
Funkcja
dana wzorem
jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.
Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w[2].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. Brak numerów stron w książce
- ↑ Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1–3.Sprawdź autora:1.