Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.
Przyjmujemy, że wartości funkcji
są znane w równo oddalonych punktach (węzłach)
dla
Dla węzłów nierówno oddalonych od siebie maja zastosowanie inne wzory np. kwadratura gaussowska.
Jeżeli
są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji
(tj.
są elementami dziedziny
dla których znana jest wartość
), to całkę:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7fc57c6d9e7e90c459bd0b182b16ae6833cba9)
można aproksymować całką:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add76769d2465c21e7e7d2585495f06d7cd40dcc)
gdzie
jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a stopnia co najwyżej
przybliżającym funkcję
w węzłach interpolacji, tj.:
![{\displaystyle L_{n}(x_{0})=y(x_{0}),L_{n}(x_{1})=y(x_{1}),\dots ,L_{n}(x_{n})=y(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42005b9a73ab8d7af58342674327a91d3a033)
Niech
oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.
Wprowadzając zmienną
taką że
można zapisać:
![{\displaystyle \lambda _{i}(x)=\lambda _{i}(a+th)=\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}=g(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202a152c8268cbb0858c98c2b4a5b41022f4142d)
Wtedy:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \lambda _{i}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7138c9d51bfcd9ff19c58aa0c44f9901f49d515)
![{\displaystyle x=a+t\cdot h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f790cd302db8cbe591b56a73e9266f94b9dd8f4a)
![{\displaystyle f(x_{i})=f(a+i\cdot h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2595056b6939dd51660bdd9acdcefd872cb7b35a)
![{\displaystyle x_{i}=a+i\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d83d4809309e020854a89c31325171ff72d50a)
- dla
![{\displaystyle a=x_{0}\quad t=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b76869d2f73b989a51e0ff839f12324fc021239)
- dla
![{\displaystyle x_{1}\quad t=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5c25841c0baab8f859e5b83d8c9591c172ddb9)
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
- dla
![{\displaystyle b=x_{n}\quad t=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd4b220608fda3a5133c3b101038b68b161bbfd)
![{\displaystyle dx=(x)'=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf9d8ce1cb047040b97d84fa6569e51ed6db8f3)
![{\displaystyle dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h)'=h=dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6e2fb690029374e3e6ea364b9d3d9db508bb92)
Zmieniając zmienną oraz granice całkowania, otrzymuje się:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{i}(x)dx=h\cdot \int \limits _{0}^{n}g(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0275e4aea564cadf172e0daed273c3b9ed65e4d)
Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla
równo odległych węzłów przyjmuje postać:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x=a+t\cdot h)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219abf1d9d06566cce549f5c36512ed1b32b3e50)
Przyjmując za
(nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot A_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39cd5903a04f65cfe672c4b9b877bf3f3a7a403)
![{\displaystyle A_{i}=A_{n-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c19a87d85a48203f24aaed00c83c63f3391e0e)
- Dowód:
![{\displaystyle A_{i}=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff325576db717729ae3721128dc54c0d892ac9f7)
- Niech
![{\displaystyle v=n-t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864ada30183a3dcb74f9829ea5f540109d33ed83)
- Wtedy:
![{\displaystyle dt=-dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f82731254495bbcb320707dd67ef7df55632a6)
![{\displaystyle A_{i}=-h\cdot \int \limits _{n}^{0}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-v-j}{i-j}}dv=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0921c92ef87576b244a48e9e773f05c603c66e3e)
- Odwrócenie granic całkowania:
![{\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-j-v}{(n-j)-(n-i)}}dv=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8db80f6725748d0c79fc47ddc0f3a0dc7e204d)
- Niech
![{\displaystyle (n-j)=j'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca314f2d13a6771d54f4574cf6a5f3d74094368)
![{\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j'=0\land j'\neq (n-i)}^{n}{\frac {j'-v}{j'-(n-i)}}dv=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95664071a22370a2936192c65fb5c37b8858df87)
- Po wyciągnięciu (–1) przed licznik i mianownik:
![{\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{v'=0\land v'\neq (n-i)}^{n}{\frac {v-v'}{(n-i)-v'}}dv=A_{n-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fbff2f5e80ccb646c34b1145c685d73116ef23)
Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:
- otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
- zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.
Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0022b28fd4ceb8deb4aeed494b5ef61919c94738)
gdzie
z
(nazywanym rozmiarem kroku) równym
oraz
są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange’a. To oznacza, że zależą tylko od
a nie od funkcji
wielomianem interpolacji w postaci Lagrange’a dla punktów
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\\\approx {}&\int \limits _{a}^{b}L(x)\,dx\\={}&\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10de81fb1c39ca995fe866c87fadc4a92bcef6e1)
Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6af97f8f2085217b19db16eb06870261c2eda8)
wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.
- Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
- Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
- W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
- Notacja
oznacza ![{\displaystyle f(x_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f41f5fd1e6520b9f1d2ffeb8504a11b13bbf32)
Rząd | Tradycyjna nazwa | Wzór | Błąd |
1 | wzór trapezów | | |
2 | wzór Simpsona | | |
3 | reguła 3/8 | | |
4 | wzór Boole’a czasem błędnie[1] nazywany wzorem Bode’a | | |
Wykładnik o kroku
w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna
w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Można zauważyć, że stopień pochodnej
w oszacowaniu błędu wzrasta o 2 dla co drugiego wzoru. Liczba
leży pomiędzy
i
W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.
Rząd | Tradycyjna nazwa | Wzór | Błąd |
0 | wzór prostokątów | | |
1 | | | |
2 | | | |
3 | | | |
Warto zwrócić uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok
musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania
również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów, a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.
Zobacz też
- analiza numeryczna
- metoda numeryczna
Przypisy
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Boole’s Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-11-25] (ang.).
Bibliografia
- J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
- M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
- Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Newton-Cotes Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).