Metoda strzałów

Metoda strzałów – metoda rozwiązywania zagadnienia brzegowego przez zastąpienie go zagadnieniem początkowym.

Zagadnienia brzegowego równania różniczkowego drugiego rzędu metoda przedstawia się następująco

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.}$

Niech ${\displaystyle y_{a}(t)}$ oznacza rozwiązanie problemu początkowego

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.}$

Zdefiniujmy funkcje ${\displaystyle F(a)}$ jako różnicę między ${\displaystyle y_{a}(t)}$ a ustaloną wartością brzegową ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle F(a)=y_{a}(t_{1})-y_{1}.}$

Jeśli problem brzegowy ma rozwiązanie wtedy ${\displaystyle F}$ ma pierwiastek, i pierwiastek ten jest wartością ${\displaystyle y'(t_{0}),}$ która daje rozwiązanie ${\displaystyle y(t)}$ problemu brzegowego.

Zwykłe metody znajdowania pierwiastków, takie jak metoda bisekcji, metoda Newtona mogą zostać użyte do znalezienia ${\displaystyle a.}$

Na poniższym rysunku widać, że rozwiązanie problemu początkowego dla dobrze dobranego parametru ${\displaystyle a}$ jest w przybliżeniu równe rozwiązaniu problemu brzegowego.

Kolorowe linie to styczne funkcji ${\displaystyle y_{a}(t)}$ w punkcie ${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$ dla różnych ${\displaystyle a.}$