Macierz Hurwitza
Macierz Hurwitza – kwadratowa macierz rzeczywista, będąca strukturą składająca się ze współczynników rzeczywistego wielomianu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Adolfa Hurwitza.
Definicja formalna
Dla danego rzeczywistego wielomianu:
macierz kwadratowa o wymiarach
nazywa się macierzą Hurwitza odpowiadającą wielomianowi
Kryterium stabilności Hurwitza
Osobny artykuł: Kryterium stabilności Hurwitza.
W 1895 roku Adolf Hurwitz ustalił, że wielomian rzeczywisty jest stabilny (to znaczy wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące główne minory macierzy są dodatnie:
i tak dalej.
Stabilne macierze Hurwitza
W inżynierii i w teorii stabilności, macierz kwadratowa nazywa się macierzą stabilną (lub czasem macierzą Hurwitza), jeśli każda wartość własna macierzy ma ściśle ujemne części rzeczywiste, to znaczy:
dla każdej wartości własnej
nazywana jest też macierzą stabilności, gdyż wówczas równanie różniczkowe zwyczajne
jest stabilne asympotycznie, to znaczy gdy
Jeśli jest transmitancją operatorową (o wartościach macierzowych) to nazywa się transmitancją Hurwitza, jeśli bieguny wszystkich elementów mają ujemne części rzeczywiste. Należy przy tym pamiętać, że nie jest konieczne, aby dla danego argumentu była transmitancją Hurwitza, nie musi nawet być kwadratowa. Występuje jednak związek, że jeśli jest macierzą Hurwitza, to układ dynamiczny ma transmitancję Hurwitza.
Dowolny hiperboliczny punkt stały (lub punkt równowagi) ciągłego układu dynamicznego jest lokalnie asympotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, jeśli Jacobian układu dynamicznego jest w punkcie stałym stabilny w sensie Hurwitza.