Krzywa Lorenza

Ten artykuł dotyczy krzywej zależnej od rozkładu. Zobacz też: rozkład Lorentza.

Krzywa Lorenza – krzywa opisująca stopień koncentracji (nierównomierności podziału globalnego zasobu cechy) jednowymiarowego rozkładu zmiennej losowej o wartościach nieujemnych.

Jest ona często wykorzystywana w ekonometrii do liczbowego wyrażania koncentracji kapitału i nierównomierności zarobków. Ma również zastosowania w ekologii.

Jeśli obserwacje statystyczne w próbie o liczności ${\displaystyle N}$ są posortowane ze względu na wartości cechy ${\displaystyle Z,}$ która przyjmuje wartości nieujemne i choć dla jednej obserwacji jest dodatnia, czyli:

${\displaystyle 0\leqslant z_{1}\leqslant z_{2}\leqslant \dots \leqslant z_{N},}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}z_{i}>0.}$

Wówczas krzywa Lorenza jest łamaną, której wierzchołki ${\displaystyle (x_{h},y_{h}),}$ dla ${\displaystyle h=0,1,\dots ,N,}$ mają współrzędne:

${\displaystyle x_{0}=y_{0}=0,}$

${\displaystyle x_{h}={\frac {h}{N}},}$

${\displaystyle y_{h}={\frac {\sum _{i=1}^{h}z_{i}}{\sum _{i=1}^{N}z_{i}}},}$

gdzie ${\displaystyle h=1,2,\dots ,N.}$

Krzywa Lorenza zawiera się w kwadracie jednostkowym, przy czym jej końce to dolny lewy i górny prawy wierzchołek kwadratu (oczywiście ${\displaystyle x_{N}=y_{N}=1}$). Pole pomiędzy nią a przekątną kwadratu nazywane jest wskaźnikiem Giniego.

Czasem też rysuje się nieznormalizowaną krzywą Lorenza, dla której:

${\displaystyle x_{h}=h,}$

${\displaystyle y_{h}=\sum _{i=1}^{h}z_{i}.}$

Wówczas nieco utrudnione jest obliczanie wskaźnika Giniego, ale oś OY można opisać w jednostkach danego dobra (np. w PLN).

Jeśli jakiś punkt krzywej Lorenza ma współrzędne ${\displaystyle (0,6;0,3),}$ to oznacza, że suma 60% obserwacji o najmniejszych wartościach stanowi 30% całej sumy, np. 60% najbiedniejszych ludzi posiada 30% całego majątku społeczeństwa.

Im bliżej przekątnej jest krzywa Lorenza, tym rozkład jest bardziej równomierny.

Krzywa Lorenza jest często wykorzystywana w ekonometrii do opisywania stopnia nierówności dystrybucji dochodów w społeczeństwie.

Krzywa nachylona pod kątem 45 stopni przedstawia równomierny rozkład dochodów w społeczeństwie. Równomierny rozkład dochodów oznacza na przykład, że 80% dochodów otrzymuje 80% społeczeństwa (punkt E). Przykładem nierówności może być fakt, że 80% ludności dysponuje zaledwie 50% dochodów (punkt E′).

Krzywa Lorenza jest stosowana w geografii ludności do obrazowania nierównomierności gęstości zaludnienia w podjednostkach terenowych.

• indeks Giniego