Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta[1]) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.
Kryterium
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | ![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a010b685126d19bf411b78ce6b1e748e294afe) | | (A) |
o wyrazach dodatnich oraz niech
![{\displaystyle D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\qquad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217ec84d378b480d27649a50194e5bd1b23a3a05)
- Jeżeli dla dostatecznie dużych
oraz pewnego
spełniona jest nierówność
![{\displaystyle D_{n}\leqslant r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec18856edb5c0636ea75ab82552745b4893e818)
- to szereg (A) jest zbieżny.
- Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych
spełniona jest nierówność
![{\displaystyle D_{n}>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbf5fc190258afcdc4ca3c1c129985112a5d7e2)
- to szereg (A) jest rozbieżny[2].
Wersja graniczna kryterium
Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
![{\displaystyle D=\lim _{n\to \infty }D_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542ac0ad841c65c3573c647b392349efe3584c0c)
to
- gdy
szereg (A) jest zbieżny, oraz - gdy
szereg (A) jest rozbieżny[2].
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga
Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }D_{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc96e200ac6d4216ec1bc7030d2306747ca248c0)
Istotnie, rozważmy ciągi
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}},\;b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39fdaf116a5c590687c0f42769d4b1d253a1608b)
Wówczas
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aae109b077f2b09db0b1f12115a65c22e3e21d)
Jednak szereg (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[3][4].
Dowód
Załóżmy, że dla dostatecznie dużych
oraz pewnego
spełniona jest nierówność
![{\displaystyle D_{n}\leqslant r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872e5530ac8fa96a0f18832976328020dfc4cb7a)
Stąd
![{\displaystyle a_{n+1}\leqslant r\cdot a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda07547e0fce34bd99cd2a1c6f0aa1e7d149ae3)
dla każdego
Oznacza to, że dla każdego
spełniona jest nierówność
![{\displaystyle a_{N+n}\leqslant r^{n}\cdot a_{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc1cd70f84bfcd85e4f9783c986d15fee09d59a)
Szereg
![{\displaystyle a_{N}+r\cdot a_{N}+r^{2}\cdot a_{N}+r^{3}a_{N}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d5771ab07688de6b5dd61314b1b4764fc4ce13)
jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie
Ponadto, majoryzuje on szereg
![{\displaystyle a_{N}+a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dc9a79c303c5ea9802cad57b408222303756ae)
Na mocy kryterium porównawczego szereg (A) jest zatem zbieżny[1][5].
W przypadku gdy istnieje taka liczba
że nierówność
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8254dbafe5010905af942f7342c0e3ef24affd)
zachodzi dla wszystkich
szereg (A) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg
nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg (A) jest rozbieżny[2].
Przykłady zastosowania
- Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny
szeregu (A) zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db5d80bd58a86fe8da1ccc5fb16be9ddbc1b86c)
- Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci
![{\displaystyle a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd059ac1220429449ea5ed94af96c1c4c2bdbc5)
- Mamy
![{\displaystyle D_{n}={\frac {\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac {n!}{n^{n}}}}={\frac {(n+1)!}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!(n+1)}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}(n+1)}}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n}={\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b80ddd31c613717cf641f02d7d3274dcb844aa7)
- Zatem korzystając z granicy
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461540812f1aa3b7f7e4395ecfc660494b01ac7e)
- otrzymujemy
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }D_{n}={\frac {1}{e}}<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fe0cc7c25421ee8ff041d012d3476568940da4)
- co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}={\frac {(2n)!}{6^{n}n!}}\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c9a60d05a48c573d53773f97f37c7a440bd057)
- Wówczas
![{\displaystyle D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(2n+2)!}{6^{n+1}(n+1)!}}\cdot {\frac {6^{n}n!}{(2n)!}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {(2n+1)(2n+2)}{n+1}}\ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff26b669983f732766f7fd8bc656c4daca8853c3)
- Oznacza to, że szereg
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406c844e9b88e6aafcb8a5ab476cff1aa3b11b09)
- jest rozbieżny.
Przypisy
Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
- Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
Literatura dodatkowa
- Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów, kanał Khan Academy na YouTube, 19 lipca 2016 [dostęp 2024-06-22]. - Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ratio Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
- Britannica: topic/ratio-test
- Catalana: 0002296