Kryterium Kummera

Kryterium Kummera (albo kryterium Diniego-Kummera^[1]) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1835^[2] przez Ernsta Kummera. W 1867 Ulisse Dini opuścił założenie ${\displaystyle a_{n}\cdot c_{n}\to 0}$ (zob. wypowiedź kryterium niżej), którego używał Kummer w swojej pracy^[1]. Inny dowód kryterium Kummera podał w 1994 Jingcheng Tong^[3].

Niech dany będzie szereg

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech ${\displaystyle (c_{n})}$ będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}=\infty .}$

(C)

Niech ponadto

${\displaystyle K_{n}=c_{n}\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\qquad (n\in \mathbb {N} ).}$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ oraz pewnego ${\displaystyle r>0}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle K_{n}\geqslant r}$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle K_{n}\leqslant 0}$

to szereg (A) jest rozbieżny^[4].

Kryterium Kummera można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg ${\displaystyle (K_{n})}$ jest zbieżny do pewnego ${\displaystyle K,}$ to

• szereg (A) jest zbieżny, gdy ${\displaystyle K>0,}$ oraz
• szereg (A) jest rozbieżny, gdy ${\displaystyle K<0}$^[5].

W przypadku, gdy ${\displaystyle K=0}$ kryterium nie rozstrzyga.

Niech ${\displaystyle c_{n}=1}$ dla wszelkich ${\displaystyle n.}$ Wówczas

${\displaystyle K_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1.}$

Jeżeli ciąg

${\displaystyle D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$

jest zbieżny do pewnego ${\displaystyle K}$ to również ciąg ${\displaystyle (K_{n})}$ jest zbieżny oraz ${\displaystyle K=1/D-1.}$ Jeżeli ${\displaystyle D<1,}$ to ${\displaystyle K>0,}$ a więc szereg (A) jest zbieżny. Jeżeli ${\displaystyle D>1,}$ to ${\displaystyle K<0,}$ a wówczas szereg (A) jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’Alemberta^[5].

Z rozbieżności szeregu harmonicznego

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$

wynika, że ciąg ${\displaystyle c_{n}=n}$ spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

${\displaystyle K_{n}=n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)=R_{n}-1,}$

gdzie ${\displaystyle R_{n}}$ jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium Raabego^[5][6].

W przypadku, gdy dla prawie wszystkich ${\displaystyle n}$ spełniona jest nierówność ${\displaystyle K_{n}\geq r>0,}$ dla tych samych ${\displaystyle n}$ zachodzi także

${\displaystyle c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}\geqslant r\cdot a_{n+1}.}$

Stąd

${\displaystyle c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}>0,}$

a zatem

${\displaystyle c_{n}a_{n}>c_{n+1}a_{n+1}.}$

Ciąg ${\displaystyle (c_{n}\cdot a_{n})}$ maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1})}$

jest zbieżny, bo jego ${\displaystyle n}$-ta suma częściowa wynosi ${\displaystyle c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1},}$ a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }r\cdot a_{n+1},}$

a więc i także samego szeregu (A)^[1].

W przypadku, gdy ${\displaystyle K_{n}<0}$ dla prawie wszystkich ${\displaystyle n,}$ dla tych ${\displaystyle n}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\tfrac {1}{c_{n+1}}}{\tfrac {1}{c_{n}}}}.}$

Z rozbieżności szeregu (C) wynika wówczas rozbieżność szeregu (A)^[1][5].

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.
• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.