Kryterium Cauchy’ego zagęszczające[1] (także kryterium kondensacyjne, kryterium zagęszczania) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych udowodnione przez Cauchy’ego. Rozszerzeniem kryterium Cauchy’ego zagęszczającego jest kryterium Schlömilcha zagęszczające.
Kryterium
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | | | (A) |
którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz dla wszelkich Ponadto, niech dany będzie szereg
| | | | (B) |
Wówczas szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg (B) jest zbieżny.
W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg (B) można zastąpić szeregiem
dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej [2].
Dowód
W dowodzie wygodnie jest użyć notacji funkcyjnej; niech
Ponieważ ciąg jest nierosnący, zachodzą oszacowania
Istotnie, nierówność (1) wynika z oszacowania[1]:
Nierówność (2) wynika natomiast z oszacowania[1]:
Z kryterium porównawczego wynika zatem, że szereg (A) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, szereg (B) jest zbieżny[3].
Przykłady zastosowania
- jest rozbieżny. Istotnie,
- [3].
- jest rozbieżny. Istotnie,
- co wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego[2].
Przypisy
Bibliografia
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1971. Brak numerów stron w książce
- Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
Literatura dodatkowa
- Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.