Kompleksem de Rhama w przestrzeni
nazywamy kompleks łańcuchowy
![{\displaystyle \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e5a05d8aa56cabfbbb27bf6dbaf18146b820b8)
gdzie:
jest
-modułem q-form różniczkowych
dla każdego
jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.
Elementy jądra operatora
nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w
zamknięte formy postaci
![{\displaystyle fdx+gdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f158a7f8406187e5cf11d94874f774666ca71dc)
należy rozwiązać równanie różniczkowe
![{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bdbdcd39cd29d93c002254c745873ed40dd14f)
Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.
Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:
![{\displaystyle {}\,\int \limits _{\partial D}\omega =\int \limits _{D}d\;\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69e90bc1a9c6a62b726b8b412746fb2b060b88c)
gdzie
jest obszarem w
a
– jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.
W podobny sposób, jak w
można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni
można rozważać przestrzeń
nad ciałem liczb zespolonych
Uściślenie definicji
Niech
będą współrzędnymi w
Niech
będzie algebrą nad ciałem
generowaną symbolami
i o działaniu
dla których spełnione są dwie zależności:
![{\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=(dx_{i})^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c88e73921876f3da18bc547811bfa0d3fe8e5bc)
![{\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i},i\neq j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5b46dd7fb65e318e9d091b189becd7a90da1d1)
Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem
algebra
ma bazę:
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403)
![{\displaystyle dx_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9205c87f766323bbfb9328dca23e9ac9d04d3537)
dla ![{\displaystyle i<j,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e670ccf1879b388052b51b48b1bb289cc1f77fe7)
dla ![{\displaystyle i<j<k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f25dafd0ea02f4bc9b6b78355c1549bacd0b7763)
- ...,
![{\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998ef08a16bb3cad65ed4ba26e486a7afeff1001)
Algebrą
jest algebra
gdzie
jest algebrą funkcji gładkich na ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ef548febfc9981762740107858be9e3a5576c3)
Elementy algebry
nazywamy formami różniczkowalnymi na
Jeżeli
to formę
można przedstawić jednoznacznie w postaci[1]:
gdzie
a ![{\displaystyle f_{i_{1}\cdots i_{q}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de78b29d63d26f58ea6f7354ceb4e7327edd2227)
Jeśli dla każdego składnika sumy
liczba q jest stała, to formę
nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:
![{\displaystyle \omega \in \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe3dc7e36d5606d0adc8ba315f2b594b54073a7)
gdzie
jest modułem nad pierścieniem
Można to także zapisać
W module
określona jest gradacja
![{\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})=\bigoplus {_{q=0}^{n}}\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19267b47e711801a89b79732804d16b1f175e097)
Operator różniczkowania form różniczkowych
![{\displaystyle d:\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})\to \Omega ^{q+1}(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f3ce5f19dd8940e361870db5db5b2eb6b0d227)
jest określony w następujący sposób[2]:
- Jeśli
to ![{\displaystyle df=\sum {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4b9aa182fe6aea8b0fbf925595483bf861c762)
- Jeśli
to ![{\displaystyle d\omega =df_{I}\wedge dx_{I}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d538b972f63686da657113f5d7892a00feac6a)
Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości
Własności operatora d
- Jeśli
to
![{\displaystyle d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{deg\,\omega }\omega \wedge \tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a46971e17df8a5d438dc11114a6941c46376ae)
dowodzi się tej równości w dwóch etapach
- dla funkcji
gdzie współczynniki
są symetryczne, a iloczyny
są antysymetryczne, bo
skąd ![{\displaystyle d^{2}f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5007f7ba05bcceb5559d029f8b79005944146584)
- dla form
mamy ![{\displaystyle d^{2}\omega =d(df_{I}\wedge dx_{I})=d^{2}f_{I}\wedge dx_{I}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b376411c45606091fd3209181641baece011dd5)
Przykłady
- Jeśli
to ![{\displaystyle d\omega =dx\wedge dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec3a20083e8f770f42bcaeb0c931916cd1cb8c8)
- Dla przypadku przestrzeni
moduły
i
mają rangę 1 nad
Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{3}(\mathbb {R} ^{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4298b81fbbd9df1ee686dc669be704df08d03aac)
- a konkretnie
![{\displaystyle f\longleftrightarrow f\longleftrightarrow fdx\wedge dy\wedge dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a77b6dd781f5f48e777bbcf7dbbfab2b3dd1175)
- Dla przypadku przestrzeni
moduły
i
mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\simeq \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5b0f57cacd621d5572ea1741b1ac3b86f3aa62)
- a konkretnie
![{\displaystyle X=(f_{1},f_{2},f_{3})\longleftrightarrow f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz\longleftrightarrow f_{1}dx\wedge dy-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dy\wedge dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a8e57120aa7788760385f2e87f9266b0a65bac)
- W przestrzeni trójwymiarowej
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/788431e4782035e5916529ae00e862eb3124183f)
- Dla funkcji f forma
jest gradientem. - Dla 1-formy
forma
jest rotacją. - Dla 2-formy
forma
jest dywergencją.
Przypisy
- ↑ Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982. Brak numerów stron w książce, tłum. ros. 1989, s. 21.
- ↑ Bott, Tu, op. cit., tłum. ros., 1989, s. 21–22.
Bibliografia
- Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982. Brak numerów stron w książce
Literatura dodatkowa
- G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956. Brak numerów stron w książce