Jonizacja powyżej progu

Jonizacja powyżej progu (ang. Above Threshold Ionization lub ATI) w mechanice kwantowej – jonizacja atomu promieniowaniem elektromagnetycznym, w wyniku której emitowane są elektrony o energii kinetycznej większej, niż wynikałoby to ze wzoru Einsteina opisującego zależności energetyczne w zjawisku fotoelektrycznym

${\displaystyle h\nu =W+E_{k},}$

gdzie:

${\displaystyle h}$ – stała Plancka,

${\displaystyle h\nu }$ – energia fotonu o częstotliwości ${\displaystyle \nu }$ (kwant energii),

${\displaystyle W}$ – energia jonizacji (praca wyjścia),

${\displaystyle E_{k}}$ – energia kinetyczna elektronu.

Zjawisko to tłumaczy się wielofotonową absorpcją. Może ono zachodzić, gdy moc monochromatycznego liniowo spolaryzowanego światła osiąga bardzo duże wartości. Oznacza to, że w wyniku superpozycji pól elektromagnetycznych poszczególnych fotonów powstaje wyjątkowo silne pole elektromagnetyczne. Efekt taki można uzyskać dzięki użyciu światła laserowego. Energię tego procesu określa wzór:

${\displaystyle Nh\nu =W+E_{kw},}$

gdzie ${\displaystyle N}$ oznacza liczbę fotonów, których energia została przejęta przez pojedynczy elektron. Ze względu na oddziaływanie z jonem macierzystym i zderzenia, widmo elektronów nie ma postaci ostrych pików, lecz jest dość szerokie i stałe (plateau). Energie fotoelektronów powstających w procesach wielofotonowych mogą osiągać wartości porównywalne z wartościami energii β-elektronów, chociaż ich widmo jest zupełnie inne.

Jonizacje powyżej progu można wyjaśnić rozwiązując równanie Schrödingera w sposób przybliżony. Równanie Schrödingera dla elektronu swobodnego w polu fali elektromagnetycznej w jednym wymiarze w cechowaniu promieniowania jest dane przez

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-eA(t)\right)^{2}\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}$

gdzie:

${\displaystyle A(t)={\frac {E_{0}}{\omega }}\cos(\omega t),}$

wtedy pole elektryczne jest dane przez

${\displaystyle E(t)=-{\frac {\partial A}{\partial t}}=E_{0}\sin(\omega t).}$

Podstawiając

${\displaystyle \Psi (t)=e^{iC(t)+ikx},}$

otrzymujemy równanie na ${\displaystyle C(t)}$

${\displaystyle {\dot {C}}(t)={\big (}\hbar k-eA(t){\big )}^{2}/2m.}$

Z rozwiązaniem

${\displaystyle C(t)=-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}t+\alpha k\sin(\omega t)-\beta \sin(2\omega t)-\gamma t,}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha ={\frac {(eE_{0})\hbar }{m\omega ^{2}}},}$

${\displaystyle \beta ={\frac {(eE_{0})^{2}}{8m\omega ^{3}}},}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {(eE_{0})^{2}}{4m\omega ^{2}}}.}$

Równanie Schrödingera dla elektronu w polu fali i w polu potencjału atomowego będzie dane przez

${\displaystyle [H_{0}(t)+V(x)]\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}$

gdzie ${\displaystyle H_{0},}$ jest hamiltonianem elektronu swobodnego. Dodając i odejmując energię stanu podstawowego, z którego będzie jonizowany elektron otrzymujemy równanie

${\displaystyle [H_{0}(t)+V(x)+E_{0}-E_{0}]\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}.}$

Ponieważ w stanie podstawowym energia kinetyczna elektronu jest równa energii całkowitej z przeciwnym znakiem (twierdzenie o wiriale) i tylko ona zostanie po szybkim usunięciu elektronu, pomijamy w tym równaniu sumę ${\displaystyle v(x)+E_{0}}$ dla wszystkich ${\displaystyle x}$ i otrzymujemy równanie przybliżone

${\displaystyle [H_{0}(t)-E_{0}]\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}$

gdzie jedyna pozostałość po potencjale atomowym jest stała.

Równanie to można rozwiązać wykorzystując rozwiązania dla elektronu swobodnego i rozkładając stan podstawowy na składowe Fouriera:

${\displaystyle \Psi (0)=Ne^{-|x|/a_{0}}=\int c_{k}e^{ikx},}$

z

${\displaystyle c_{k}={\frac {N}{a_{0}}}{\frac {1}{k^{2}a_{0}^{2}+1}}.}$

Równanie to ma więc rozwiązanie

${\displaystyle \Psi (t)=\int c_{k}e^{ikx}e^{iE_{0}t}e^{iC(t)}.}$

Widmo jonizacji otrzymujemy ze wzoru

${\displaystyle E(k)=\left|\int <\Psi (\tau )|e^{ikx}>g(\tau )\right|^{2},}$

mówiącego ile składowej fali płaskiej elektronu swobodnego o danej energii kinetycznej jest pod koniec procesu jonizacji, gdzie ${\displaystyle g(\tau )}$ jest funkcją uśredniającą detektora pomiarowego, np.

${\displaystyle g(\tau )=N_{1}e^{-(\tau -\tau _{0})^{2}/T_{0}^{2}}.}$

Rozkładając czynnik

${\displaystyle e^{i\alpha k\sin(\omega t)-i\beta \sin(2\omega t)}=\sum _{n}{\mathcal {J}}_{n}(-\alpha k,\beta )e^{-in\omega t}}$

z uogólnionymi funkcjami Bessela ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}}$ zdefiniowanymi przez transformatę odwrotną otrzymujemy

${\displaystyle E(k)=|\sum _{n}c_{k}{\mathcal {J}}_{n}(-\alpha k,\beta ){\tilde {g}}(\hbar ^{2}k^{2}/2m-n\hbar \omega -E_{0}+\gamma )|^{2}}$

(${\displaystyle {\tilde {g}}(\omega )}$ jest transformatą Fouriera funkcji detektora), czyli sumą ostrych lub rozmytych maksimów zlokalizowanych wokół warunku energii emitowanych elektronów ${\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/2m=n\hbar \omega +E_{0}-\gamma }$ w zależności od szybkości, tzn. od parametru uśredniania detektora ${\displaystyle T_{0}.}$

• Wielofotonowa jonizacja powyżej progu, Postępy Fiz. 39, 487 (1988)
• I.W. Sawieliew: Wykłady z fizyki 3. Wyd. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-11606-4. Brak numerów stron w książce
• Qi-Chang Su, J.H. Eberly. Numerical simulations of multiphoton ionization and above-threshold electron spectra. „Physical Review A”. 38 (7), s. 3430, 1988. DOI: 10.1103/PhysRevA.38.3430. 

• Attosecond theory: Above-threshold ionization. www.homepages.ucl.ac.uk. [dostęp 2011-03-05]. (ang.).
• Alfred Maquet: Above Threshold Ionization (ATI): From IR to X-rays. [w:] Schedule [on-line]. P&M Curie & KITP Univ, Aug 19, 2010. [dostęp 2011-03-05]. (ang.).
• V. I Usachenko, V.A. Pazdzersky. Reexamination of high-energy above-threshold ionization (ATI): An alternative strong-field ATI model. „Phys. Rev. A”. 69 (1), s. 013406, 2004. DOI: 10.1103/PhysRevA.69.013406. [dostęp 2011-02-05]. (ang.). 
• Above Threshold Ionization photoelectron spectra.