Homomorfizm ciał
Homomorfizm ciał – przekształcenie jednego ciała w drugie, które zachowuje strukturę.
Definicja formalna
Niech oraz będą dowolnymi ciałami.
Homomorfizmem ciał i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że
- – zachowane jest działanie addytywne,
- – zachowane jest działanie multiplikatywne.
Własności
NIech jest homomorfizmem między ciałami R i S. Wtedy:
- – element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
- – element neutralny mnożenia jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w
- – element przeciwny jest odwzorowywany w element przeciwny, co wynika z rozumowania:
- – element odwrotny jest odwzorowywany w element odwrotny.
Obraz
Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obrazem homomorfizmu jest podciało ciała S.
Monomorfizm
Monomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest różnowartościowy (jest iniekcją).
Epimorfizm
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu „na” (będący suriekcją).
Homomorfizm jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
Izomorfizm
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem ciał wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny (jest bijekcją), czyli jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Wtedy: istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że ciała i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze ciał relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Zobacz też
- automorfizm
- endomorfizm
- morfizmy grup
Bibliografia
- Adamson, Iain T. (1982). Introduction to Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28658-1.