Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.
Definicja
Niech
będzie przestrzenią topologiczną,
oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz
oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta
Funkcję
nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni
(albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:
jest operatorem samosprzężonym dla ![{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7c83baa6d95cdf00c94fcff9ab3fffc0529c5f)
![{\displaystyle E(X)=I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7230e89bb4c348b5b63561a4f57f666eb59837c)
![{\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8154153b4f94fcbcd5fc94764646aa3e4c4f5e)
- Funkcja
jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.
Własności
Niech
będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej
dla ![{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7c83baa6d95cdf00c94fcff9ab3fffc0529c5f)
- Jeżeli
są rozłączne, to
oraz ![{\displaystyle \|E(\cdot )x\|(X)=\|x\|,\;x\in H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4418aa51c150f70f3b10e7e4c568c1569accf7a5)
- Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej
operator
![{\displaystyle \Omega (g)x=\int \limits _{X}g(\lambda )E(d\lambda )x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08a049d81b8a174a534f847bf4e282f009c2214)
- jest liniowy i ciągły, a jeżeli
to także samosprzężony. Ponadto ![{\displaystyle \|\Omega (g)\|\leqslant \sup\{|g(\lambda )|\colon \lambda \in X\},\;\;\|\Omega (g)\|^{2}=\int \limits _{X}|g(\lambda )|^{2}\|E(d\lambda )x\|^{2},\;x\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98b69cf413d761051b54d84a8f57470b32f44dc)
- oraz
dla
ograniczonych funkcji borelowskich.
- Jeśli
jest zwartą przestrzenią metryczną oraz
są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów
istnieje funkcja ciągła
że
oraz
to ![{\displaystyle E_{1}=E_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647601ee4a7617e0b217b8117073687a73162fa7)
Przykład
Załóżmy, że przestrzeń Hilberta
jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna
tej przestrzeni. Dalej, niech
będzie zbiorem zwartym oraz
różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że:
![{\displaystyle {\mbox{cl}}\{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}=K\neq \{\lambda _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a705ffdca7847a3997a7b6668f75f8d1792d823a)
Wówczas operator
dany wzorem
![{\displaystyle \Lambda x=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}(x|e_{n})e_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ef3c92e009f88bf5e2a2d621cb0f3c89ad4be2)
jest operatorem samosprzężonym oraz jego widmo
Funkcja
dana wzorem
![{\displaystyle E(B)x=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbf {1} _{B}(\lambda _{n})(x|e_{n})e_{n},\;x\in H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dd383911a51b385852e678f699d271a7ca35bc)
gdzie
oznacza funkcję charakterystyczną, jest hermitowską miarą spektralną oraz
![{\displaystyle \Lambda x=\int \limits _{\sigma (\Lambda )}\lambda E(d\lambda )x,\;x\in H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1809ff64078edff4d66097611ed82c8fea18fd)
Literatura
- Krzysztof Maurin: Methods of Hilbert Spaces. Warszawa: PWN, 1972. Brak numerów stron w książce