Grupa liniowa homotetii

Grupa linowa homotetii – grupa liniowa (podgrupa pełnej grupy liniowej, czyli grupy ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {K} )}$) macierzy postaci ${\displaystyle \Bbbk \cdot \mathbb {I} _{n},}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {I} _{n}}$ jest macierzą jednostkową stopnia ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle \Bbbk \in \mathbb {K} \setminus \{0\}}$^[1]. Zazwyczaj oznaczana jest symbolem ${\displaystyle {\text{H}}(n,\mathbb {K} )}$^[1].

Własności

Niech ${\displaystyle Z(G)}$ oznacza centrum grupy ${\displaystyle G.}$ Przy tych oznaczeniach zachodzą następujące własności:

• ${\displaystyle Z({\text{GL}}(n,\mathbb {K} ))={\text{H}}(n,\mathbb {K} )}$^[1];
• ${\displaystyle Z({\text{SL}}(n,\mathbb {K} ))={\text{H}}(n,\mathbb {K} )\cap {\text{SL}}(n,\mathbb {K} ),}$ gdzie ${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {K} )}$ jest specjalną grupą liniową^[1];
• ${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }\ {\text{H}}(n,\mathbb {K} )\simeq {\text{H}}(1,\mathbb {K} )=\mathbb {K} \setminus \{0\}}$^[1].

Przypisy