Gęstość Sznirelmana
Gęstość Sznirelmana – pojęcie addytywnej teorii liczb wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Lwa Sznirelmana. Jest zdefiniowana dla podzbiorów zbioru liczb naturalnych jako:
gdzie A(n) to liczba elementów zbioru A nieprzekraczających n, inf to infimum.
Własności
- Każdy zbiór ma gęstość Sznirelmana (w odróżnieniu od gęstości naturalnej).
- wtedy i tylko wtedy, gdy i gdzie oznacza dolną gęstość naturalną.
- wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie liczby naturalne.
- Jeżeli i to
gdzie oznacza sumę algebraiczną zbiorów.
Baza addytywna i twierdzenia udowodnione przy użyciu gęstości Sznirelmana
Baza addytywna jest definiowana jako zbiór taki, że dla pewnego zachodzi
- Jeśli zbiór zawiera 0 i ma dodatnią gęstość Sznirelmana, to jest bazą addytywną.
- każda liczba naturalna (większa od jedności) może być zapisana w postaci sumy co najwyżej 20 liczb pierwszych.
- Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej -tych potęg liczb naturalnych (Problem Waringa).
Bibliografia
- Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.