Funkcja Wanniera

Funkcje Wanniera – zbiór zupełny funkcji ortogonalnych używany jako baza w fizyce ciała stałego. Pierwszy raz zostały zaproponowane przez G. Wanniera^[1].

Funkcje Wanniera dla różnych węzłów sieci w krysztale są do siebie wzajemnie ortogonalne, przez co stanowią wygodną bazę do rozwinięć perturbacyjnych, w szczególności stanowią podstawę modelu ciasnego wiązania.

Funkcje Wanniera można zdefiniować na wiele różnych sposobów^[2], przy czym oryginalna definicja^[1], najczęściej używana w fizyce ciała stałego oparta jest o funkcje Blocha.

Wybierzmy pojedyncze pasmo w idealnym krysztale i oznaczmy funkcję falową dla stanu Blocha

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$

gdzie ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$ jest funkcją Blocha o periodyczności takiej samej jak sieć krystaliczna. Wtedy funkcje Wanniera definiujemy jako

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbf {R} }$ – dowolny wektor sieci prostej (tzn. istnieje dokładnie jedna funkcja Wanniera dla każdego wektora Bavaisa),

${\displaystyle N}$ – liczba komórek prymitywnych w krysztale,

suma po ${\displaystyle \mathbf {k} }$ przebiega po wszystkich wartościach ${\displaystyle \mathbf {k} }$ w strefie Brillouina.

Ze względu na to, że wartości ${\displaystyle \mathbf {k} }$ są rozłożone równomiernie w strefie Brillouina oraz ${\displaystyle N}$ jest zwykle bardzo dużą liczba suma może zostać przybliżona przez całkę zgodnie z poniższą reguła

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{BZ}d^{3}\mathbf {k} ,}$

gdzie ${\displaystyle BZ}$ oznacza strefę Brillouina o objętości ${\displaystyle \Omega .}$