Element objętości

Elementem objętości rozmaitości M w punkcie ${\displaystyle x\in M}$ nazywamy taki k-tensor antysymetryczny ${\displaystyle dM(x)\in \Lambda ^{k}(T_{x}M),}$ że dla każdej bazy ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{k})}$ przestrzeni ${\displaystyle T_{x}M}$ zachodzi: ${\displaystyle dM(x)(v_{1},\dots ,v_{k})=|R(v_{1},\dots ,v_{k})|*\operatorname {sgn}(v_{1},\dots ,v_{k}),}$ gdzie ${\displaystyle |R(v_{1},\dots ,v_{k})|}$ jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{k}).}$

Elementem objętości M w punkcie ${\displaystyle x\in M}$ nazywamy ${\displaystyle dM(x)\in \Lambda ^{k}(T_{x}M)}$ o tej własności, że ${\displaystyle dM(x)(e_{1},\dots ,e_{k})=1,}$ gdzie ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{x}M.}$ (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

Objętość rozmaitości M określa się jako ${\displaystyle \int \limits _{M}dM,}$ o ile ta całka istnieje, co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

• Lech Górniewicz, Roman Stanisław Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000.
• M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977.