Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).
Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych[1], tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.
i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy
Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:
Twierdzenie
Niech będzie otwartym podzbiorem będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy
gdzie:
gdy zachowuje orientację,
gdy zmienia orientację.
Grupa dyfeomorfizmów
Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizmrozmaitości różniczkowej jest dyfeomorfizmem rozmaitości na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem
przeprowadza zbiór na zbiór Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia
Dyfeomorfizm walcowy
Niech Funkcja określona wzorem
przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia
Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie
Niech i będą przestrzeniami Banacha, będzie niepustym, otwartym podzbiorem oraz będzie dane odwzorowanie klasy Jeśli jest różniczkowalne w punkcie oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) na to istnieje takie otoczenie punktu że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem.
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.
Przypisy
↑dyfeomorfizm, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-18].
↑John W. Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. Warszawa: PWN, 1969, s. 11.