Ciało rozkładu wielomianu

Ciało rozkładu wielomianu – w teorii ciał rozszerzenie ciała o wszystkie pierwiastki pewnego wielomianu^[1].

Dla danego ciała ${\displaystyle K}$ i dla wielomianu ${\displaystyle f}$ dodatniego stopnia o współczynnikach z tego ciała (a więc należącego do pierścienia wielomianów tego ciała, ${\displaystyle f\in K[x]}$), który rozkłada się w większym ciele ${\displaystyle L}$ na iloczyn wielomianów liniowych ${\displaystyle f=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})}$ ciałem rozkładu tegoż wielomianu jest ciało powstałe przez rozszerzenie wyjściowego ciała ${\displaystyle K}$ o wszystkie pierwiastki tegoż wielomianu ${\displaystyle a_{i},}$ to znaczy ${\displaystyle K(a_{1},a_{2},...,a_{n}).}$ Tak skonstruowane ciało rozkładu wielomianu ${\displaystyle f}$ jest podciałem ${\displaystyle L{:}}$ ${\displaystyle K(a_{1},a_{2},...,a_{n})\subset L}$^[1].

Dyskusję ciał rozkładu wielomianu Jerzy Browkin zaczyna od rozważenia istnienia takich ciał w ogóle. Mianowicie powyższa definicja wymaga rozkładu rozpatrywanego wielomianu na wielomiany liniowe. Dowieść można, że każdy wielomian ${\displaystyle f}$ dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała ${\displaystyle K[x]}$ nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci ${\displaystyle ax+b}$) w innym ciele ${\displaystyle L}$ będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego ${\displaystyle K.}$ By tego dowieźć, dowodzi się wpierw lematu stanowiącego, że dla każdego wielomianu ${\displaystyle f\in K[x]}$ dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K}$ takie, że wielomian ${\displaystyle f}$ ma w tym ciele pierwiastek. A więc ${\displaystyle \forall f\in K[x]stf>0\Rightarrow \exists L(K\subset L\land \exists a\in Lf(a)=0)}$^[1].

Wielomian ${\displaystyle f}$ może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele ${\displaystyle K.}$ Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu ${\displaystyle f.}$ Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów ${\displaystyle K[x]}$ wielomian ${\displaystyle f}$ tworzy ideał ${\displaystyle I,}$ który można oznaczyć także ${\displaystyle (f).}$ W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie maksymalny^[1] (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należy^[2], w tym wypadku ${\displaystyle K[x],}$^[1], ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniu^[2]). Dowodzi się, że pierścień ilorazowy utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałem^[3]. Wobec tego także pierścień ilorazowy ${\displaystyle K[x]/I}$ powstały z podzielenia pierścienia wielomianów ${\displaystyle K[x]}$ przez jego ideał maksymalny ${\displaystyle I}$ będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie ${\displaystyle L=K[x]/I.}$ Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem ${\displaystyle K.}$ Należy dalej rozpatrzeć element ${\displaystyle a=x+I}$ wzięty z ${\displaystyle K[x]/I.}$ Po podstawieniu ${\displaystyle a}$ do wielomianu ${\displaystyle f}$ otrzymuje się ${\displaystyle f(a)=f(x+I)=f(x)+I,}$ to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez ${\displaystyle f.}$ Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała ${\displaystyle L,}$ element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu ${\displaystyle f}$^[1].

Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień ${\displaystyle f}$ dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie ${\displaystyle K,}$ które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki ${\displaystyle f.}$ W takim wypadku wielomian ${\displaystyle f}$ rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała ${\displaystyle f=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i}).}$ Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu ${\displaystyle f\in K[x]}$ o stopniu ${\displaystyle n}$ istnieje rozszerzenie ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K}$ obejmujące pierwiastek ${\displaystyle a}$ tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele ${\displaystyle L}$ wielomian ${\displaystyle f}$ rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: ${\displaystyle f(x)=(x-a)g(x),}$ przy czym ${\displaystyle g\in L[x].}$ Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od ${\displaystyle n,}$ co podpada po założenie indukcyjne. Stanowi ono, że ciało ${\displaystyle L}$ (z tego bowiem ciała wzięto wielomian ${\displaystyle g}$) ma rozszerzenie, można je oznaczyć ${\displaystyle M,}$ takie, że wielomian ${\displaystyle g}$ stopnia poniżej ${\displaystyle n}$ da się w nim rozłożyć na wielomiany liniowe. Ale także ${\displaystyle a\in L,}$ a więc i ${\displaystyle a\in M,}$ co oznacza, że wielomian liniowy ${\displaystyle x-a\in M[x].}$ Oba czynniki wielomianu ${\displaystyle f}$ należą do ${\displaystyle M[x],}$ co oznacza, że wielomian ${\displaystyle f}$ da się rozłożyć na czynniki liniowe, z których każdy należy do ${\displaystyle M[x].}$ Dowodzi to, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia z danego ciała ciało to ma rozszerzenie, w którym da się ów wielomian rozłożyć na czynniki liniowe^[1].

Oznacza to, że w przypadku dowolnego wielomianu ${\displaystyle f}$ dodatniego stopnia z pierścienia wielomianów dowolnego wyjściowego ciała ${\displaystyle K}$ istnieje rozszerzenie ${\displaystyle K}$ zawierające wszystkie jego pierwiastki. Rozszerzenie ${\displaystyle K}$ o te pierwiastki nazywa się właśnie ciałem rozkładu wielomianu ${\displaystyle f}$^[1].

Należy jeszcze rozpatrzyć przypadek, kiedy to wielomian ${\displaystyle f}$ nie jest dodatniego, ale zerowego stopnia. Wielomian taki nie ma pierwiastków nienależących do ciała ${\displaystyle K,}$ wobec tego już samo ${\displaystyle K}$ stanowi ciało jego rozkładu^[4].

Po udowodnieniu istnienia ciał rozkładu wielomianu rozważa się następnie jedyność takich ciał. Oczywiście ciało rozkładu wielomianu ${\displaystyle f}$ zależy nie tylko od postaci tegoż wielomianu, a więc od jego pierwiastków, przy których się on zeruje, ale również od wyjściowego ciała ${\displaystyle K,}$ z którego wzięte zostały współczynniki ${\displaystyle f.}$ Pojawia się jednak pytanie, czy po ustaleniu tego ciała ${\displaystyle K}$ może ono mieć kilka różnych rozszerzeń będących ciałami rozkładu ${\displaystyle f,}$ czy też może istnieć tylko jedno jedyne takie ciało^[5].

Rozważania na ten temat opierają się na badaniu rozszerzeń izomorfizmów. Okazuje się bowiem, że dowolny izomorfizm ${\displaystyle \varphi }$ dwóch ciał, np. ${\displaystyle K_{1}}$ i ${\displaystyle K_{2},}$ rozszerzyć można na izomorfizm ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ ich pierścieni wielomianów. Jeśli więc ${\displaystyle K_{1}\xrightarrow {\varphi } K_{2},}$ to ${\displaystyle K_{1}[x]\xrightarrow {\overline {\varphi }} K_{2}[x].}$ Wziąć należy wielomian nierozkładalny ${\displaystyle f_{1}}$ z pierścienia ${\displaystyle K[x]}$ o pierwiastku ${\displaystyle a_{1}}$ należącym do rozszerzenia ${\displaystyle L_{1}.}$ Izomorfizm ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ będzie przekształcał ten wielomian na wielomian ${\displaystyle f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1}.}$ Jak wynika z powyższych rozważań, i ten wielomian będzie miał pierwiastek, oznaczany przez ${\displaystyle a_{2}}$ i należący do pewnego rozszerzenia ${\displaystyle K,}$ oznaczanego przez ${\displaystyle L_{2}.}$ Oznacza to w dalszym ciągu istnienie dwóch ciał powstałych przez rozszerzenie ${\displaystyle K}$ o rzeczone dwa pierwiastki, mianowicie ${\displaystyle K(a_{1})}$ i ${\displaystyle K(a_{2}).}$ Co więcej izomorfizm ${\displaystyle \varphi }$ rozszerzyć można do kolejnego izomorfizmu ${\displaystyle \varphi '}$ przekształcającego pierwsze z tych rozszerzeń w to drugie: ${\displaystyle K(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K(a_{2}).}$ Jako że izomorfizm zachowuje własności algebraiczne, przeto ${\displaystyle f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1}}$ będzie w ${\displaystyle K}$ nierozkładalny. Dalej wziąć trzeba dwa ${\displaystyle K_{1}}$-izomorfizmy z pierścieni ilorazowych odpowiednich pierścieni wielomianów w odpowiednie rozszerzenia pojedyncze, mianowicie ${\displaystyle \varphi _{1}}$ przekształcające ${\displaystyle K_{1}[x]/(f_{1})}$ w ${\displaystyle K_{1}(a_{1}),}$ który dla ${\displaystyle x+(f_{1})}$ przyjmuje wartość ${\displaystyle a_{1},}$ oraz analogicznie ${\displaystyle \varphi _{2}:K_{2}[x]/(f_{2})\to K_{2}(a_{2})}$ taki, że ${\displaystyle \varphi _{2}(x+(f_{2}))=a_{2}.}$ Następnie z faktu, że ${\displaystyle f_{2}={\overline {\varphi }}f_{1},}$ wnosi się, że izomorfizmowi pierścieni wielomianów ${\displaystyle {\overline {\varphi }}:K_{1}[x]\to K_{2}[x]}$ odpowiada izomorfizm ich pierścieni ilorazowych ${\displaystyle \varphi ^{\sim }:K_{1}[x]/(f_{1})\to K_{2}[x]/(f_{2}).}$ Rzeczony izomorfizm ${\displaystyle \varphi ^{\sim },}$ stanowiąc rozszerzenie ${\displaystyle \varphi ,}$ po podstawieniu doń ${\displaystyle x+(f_{1})}$ daje ${\displaystyle x+(f_{2}).}$ W końcu izomorfizm ${\displaystyle \varphi '}$ zdefiniowany jako ${\displaystyle \varphi '=\varphi _{2}\varphi ^{\sim }\varphi _{1}^{-}}$ przekształca ${\displaystyle K_{1}(a_{1})}$ w ${\displaystyle K_{2}(a_{2}).}$ W szczególności, przy wzięciu za ${\displaystyle K_{1}}$ i ${\displaystyle K_{2}}$ wyjściowego ciała ${\displaystyle K,}$ przekształca on jego rozszerzenia pojedyncze ${\displaystyle K(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K(a_{2}).}$ Wysnuć stąd można wniosek, że skoro pierwiastki rozpatrywanego nierozkładalnego wielomianu ${\displaystyle f}$ można wzajemnie przekształcać w siebie izomorfizmami, pod względem właściwości algebraicznych nie różnią się one od siebie^[5].

Następnie wykorzystuje się twierdzenie o rozszerzaniu izomorfizmu. Stanowi ono, że dla

• izomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ przekształcającego ciało ${\displaystyle K_{1}}$ w ciało ${\displaystyle K_{2}}$
• odpowiadającego mu izomorfizmu ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ pierścieni wielomianów ${\displaystyle K_{1}[x]}$ w ${\displaystyle K_{2}[x]}$
• ciała ${\displaystyle L_{1}}$ rozkładu wielomianu ${\displaystyle f_{1}}$ z ${\displaystyle K_{1}[x]}$
• ciała ${\displaystyle L_{2}}$ rozkładu wielomianu ${\displaystyle f_{2}}$ z ${\displaystyle K_{2}[x]}$ otrzymywanego poprzez zadziałanie izomorfizmem ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ na wielomian ${\displaystyle f_{1}}$

można rozszerzyć ${\displaystyle \varphi }$ do izomorfizmu ${\displaystyle \psi ,}$ który przekształcał będzie ciało ${\displaystyle L_{1}}$ w ciało ${\displaystyle L_{2}}$^[5].

Browkin dowodzi tego twierdzenia, wykorzystując indukcję matematyczną po stopniu wielomianu ${\displaystyle f.}$ Mianowicie dla wielomianów stopnia zerowego ciała ich rozkładu są wyjściowymi ciałami, wobec czego szukanym izomorfizmem będzie po prostu wyjściowy izomorfizm ${\displaystyle \varphi .}$ Sytuacja komplikuje się, gdy w grę wchodzą wielomiany wyższego stopnia. Założenie indukcyjne przyjmować będzie, że twierdzenie zachodzi dla wielomianów stopnia mniejszego od ${\displaystyle n,}$ wyprowadzić je zaś należy dla tegoż właśnie stopnia^[5]. Przyjmując rozkład wielomianów ${\displaystyle f_{1}=a_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-a_{1})}$ i analogicznie ${\displaystyle f_{2}=b_{0}\prod _{i=1}^{n}(x-b_{1})}$^[6] (są tego samego stopnia, gdyż ${\displaystyle f_{2}={\overline {\varphi }}f_{2}}$^[6]), definiuje się ${\displaystyle L_{1}}$ jako ${\displaystyle K_{1}}$ rozszerzone o wszystkie ${\displaystyle a_{i}}$ od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n}$ z powyższego iloczynu, analogicznie definiuje się ${\displaystyle L_{2}}$ jako rozszerzenie ${\displaystyle K_{2}}$ o odpowiednie ${\displaystyle b_{i}.}$ Jednym z pierwiastków wielomianu ${\displaystyle f_{1}}$ jest ${\displaystyle a_{1}.}$ Wobec tego w rozkładzie ${\displaystyle f_{1}}$ występuje taki nierozkładalny wielomian ${\displaystyle g_{1},}$ że znika on dla ${\displaystyle a_{1}.}$ Poddając tenże wielomian ${\displaystyle g_{1}}$ działaniu wcześniej określonego izomorfizmu ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ otrzymuje się wielomian ${\displaystyle g_{2},}$ także nierozkładalny, i z kolei występujący w rozkładzie wielomianu ${\displaystyle f_{2}.}$ Ma on wobec tego swój pierwiastek wśrod ${\displaystyle b_{i}}$ od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n,}$ pierwiastek ten można oznaczyć dowolnie, dla prostoty na przykład ${\displaystyle b_{1}.}$ Wtedy dzięki rozumowaniu przedstawionemu wcześniej wnosi się o istnieniu izomorfizmu ${\displaystyle \varphi ',}$ zdefiniowanego jak wyżej, a więc stanowiącego rozszerzenie wyjściowego izomorfizmu ${\displaystyle \varphi }$ i takiego, że ${\displaystyle K_{1}(a_{1})\xrightarrow {\varphi '} K_{2}(b_{1}),}$ a więc przyporządkowującemu pierwiastkowi ${\displaystyle a_{i}}$ pierwiastek ${\displaystyle b_{i}.}$ Pozwala to na rozłożenie wielomianów ${\displaystyle f_{1}}$ i ${\displaystyle f_{2}}$ na wielomian liniowy o pierwiastku ${\displaystyle a_{1}}$ czy ${\displaystyle b_{1}}$ oraz inny wielomian z pierścienia ${\displaystyle K_{1}(a_{1})[x]}$ czy ${\displaystyle K_{2}(b_{1})[x]}$ o stopniu mniejszym od ${\displaystyle n}$ (a więc do którego będzie się stosowało założenie indukcyjne), oznaczany na przykład odpowiednio ${\displaystyle h_{1}}$ i ${\displaystyle h_{2}.}$ Ponieważ ${\displaystyle f_{1}}$ jest izomorficzny do ${\displaystyle f_{2}}$ i jego czynnik ${\displaystyle x-a_{1}}$ jest izomorficzny do czynnika ${\displaystyle x-b_{1}}$ wielomianu ${\displaystyle f_{2},}$ izomorficzne są również występujące w obu rozkładach wielomiany ${\displaystyle h_{1}}$ i ${\displaystyle h_{2}.}$ Wobec tego ciało ${\displaystyle L_{1}}$ traktować można jako ciało ${\displaystyle K_{1}(a_{1})}$ rozszerzone następnie o wszystkie ${\displaystyle a_{i}}$ począwszy od ${\displaystyle 2}$ aż do ${\displaystyle n}$ i tak samo ciało ${\displaystyle L_{2}}$ jako ${\displaystyle (K_{2}(b_{1}))(b_{2},...,b_{n}).}$ W obu przypadkach są to ciała rozkładu wielomianów ${\displaystyle h_{i},}$ a więc o stopniu od ${\displaystyle n}$ mniejszym. Dotyczy ich założenie indukcyjne, istnieje więc izomorfizm ${\displaystyle \psi }$ przekształcający pierwsze w drugie. Izomorficzne są też wyjściowe ciała ${\displaystyle K_{1}(a_{i})}$ i ${\displaystyle K_{2}(b_{1}).}$ Wynika z tego, że izomorficzne muszą być w końcu także ${\displaystyle L_{1}}$ i ${\displaystyle L_{2}.}$ Dowodzi to twierdzenia o rozszerzaniu izomorfizmu^[6].

Nic jednak w powyższym rozumowaniu nie wskazuje, jakoby ciała ${\displaystyle K_{1}}$ i ${\displaystyle K_{2}}$ musiały różnić się od siebie. Wprost przeciwnie, muszą być one izomorficzne. Każde wszak ciało jest izomorficzne ze sobą samym. Podstawić do twierdzenia można więc dwukrotnie to samo wyjściowe ciało ${\displaystyle K.}$ Nie wymaga również rzeczone rozumowanie, by ${\displaystyle f_{2}}$ i ${\displaystyle f_{1}}$ nie były tym samym wielomianem. Przyjąć bowiem można, że wiążący je izomorfizm jest identycznością. Po wprowadzeniu powyższych dwóch założeń otrzymuje się z dowiedzionego twierdzenia, że każde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianu ${\displaystyle f}$ z pierścienia wielomianów tego samego ciała ${\displaystyle K}$ są ${\displaystyle K}$-izomorficzne. Inaczej mówiąc, są tożsame z dokładnością do izomorfizmu^[6].

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.