Ciąg uogólniony

Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem, a ${\displaystyle (\Sigma ,\leqslant )}$ zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie ${\displaystyle S:\Sigma \to X}$^[1]. Ciąg taki oznaczamy również ${\displaystyle S=(x_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }}$ lub ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}$. Wartość ${\displaystyle x_{\sigma }}$ jest elementem zbioru ${\displaystyle X}$ przyporządkowanym elementowi ${\displaystyle \sigma \in \Sigma .}$

Punkty skupienia i granica

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt ${\displaystyle x\in X}$ nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}$ jeśli

${\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}$

gdzie ${\displaystyle U}$ oznacza otoczenie punktu ${\displaystyle x.}$

Punkt ${\displaystyle x\in X}$ nazywamy granicą ciągu uogólnionego ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}$ jeśli

${\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigvee _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigwedge _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}$

gdzie ${\displaystyle U,}$ tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu ${\displaystyle x.}$

Mówimy wtedy również, że ${\displaystyle S}$ jest zbieżny do ${\displaystyle x.}$

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu ${\displaystyle S}$ oznaczamy ${\displaystyle \lim S}$ albo ${\displaystyle \lim _{\sigma \in \Sigma }S.}$

Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony ${\displaystyle S=\{x_{\sigma '}\colon \;\sigma '\in \Sigma '\}}$ nazywamy subtelniejszym od ciągu ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}$ jeśli istnieje funkcja ${\displaystyle \varphi \colon \Sigma '\to \Sigma ,}$ spełniająca warunki:

1. ${\displaystyle \bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma _{0}'\in \Sigma '}\left[\sigma '\geqslant \sigma _{0}'\Rightarrow \varphi (\sigma ')\geqslant \sigma _{0}\right].}$
2. ${\displaystyle \bigwedge _{\sigma '\in \Sigma '}x_{\varphi (\sigma ')}=x_{\sigma '}.}$

Własności

• Jeśli punkt ${\displaystyle x}$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego ${\displaystyle S'}$ subtelniejszego od ${\displaystyle S,}$ to ${\displaystyle x}$ jest punktem skupienia ${\displaystyle S.}$
• Jeśli punkt ${\displaystyle x}$ jest granicą ciągu uogólnionego ${\displaystyle S,}$ to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego ${\displaystyle S'.}$
• Jeśli punkt ${\displaystyle x}$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego ${\displaystyle S,}$ to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego ${\displaystyle S',}$ subtelniejszego od ${\displaystyle S.}$

Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznych

• Odwzorowanie ${\displaystyle f:X\to Y}$ przestrzeni topologicznych jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f(\lim \limits _{\sigma \in \Sigma }x_{\sigma })\subseteq \lim _{\sigma \in \Sigma }f(x_{\sigma })}$ dla każdego ciągu uogólnionego ${\displaystyle \Sigma \to X}$.
• Punkt ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu uogólnionego ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}$, gdzie ${\displaystyle x_{\sigma }\in A\setminus \{x\}}$ dla każdego ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$.
• Punkt ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ należy do domknięcia zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg uogólniony ${\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}$ zbieżny do ${\displaystyle x}$ taki, że ${\displaystyle x_{\sigma }\in A}$ dla każdego ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$.
• Zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest domknięty w przestrzeni ${\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym ciągiem uogólnionym zawiera jego granice^[1].

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 67-69.
• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
• S. Gładysz: Wstęp do topologii, Warszawa: PWN, 1981.