Całka względem miary wektorowej – rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue’a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.
Konstrukcja
Niech
będzie niepustym zbiorem,
będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech
oznacza zbiór wszystkich
-mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru
w ciało skalarów
Dalej, niech
będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad
oraz
będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj.
Jeżeli funkcja
jest
-mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci
![{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\mathbf {1} _{A_{j}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4716de6b19de50f83837bc77cc7fb14b80f74be0)
gdzie
a zbiory
są parami rozłączne i
Wzór
![{\displaystyle T_{\nu }f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\nu (A_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1386269a0a7dc75c1e692a749ca07e987aeabab)
określa odzworowanie liniowe przestrzeni
![{\displaystyle Y=\{f\in B({\mathfrak {M}})\colon \;\operatorname {card} f(M)<\aleph _{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce10c9f1b0971ff678e41b13103e24c0f05273d6)
w przestrzeń
Odwzorowanie to jest ciągłe oraz
Podprzestrzeń
jest gęsta, więc odwzorowanie
można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni
w przestrzeń
które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal
Jeżeli
to zamiast
piszemy też
![{\displaystyle \int \limits _{M}fd\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55d0090733bda37190fed24a82f42d986d8e4d2)
Jeżeli
oraz
to
![{\displaystyle x^{\star }\int \limits _{M}fd\nu =\int \limits _{M}fd(x^{\star }\circ \nu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c061125c6393e25f137c6e1b7ec1bbb41ae54585)
Jeżeli
a
jest ograniczoną funkcją
-mierzalną, to
![{\displaystyle \int \limits _{A}fd\nu :=\int \limits _{M}f_{0}d\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c55a375ace815319b9214b47c294c76b396a1da)
gdzie
dana jest wzorem
gdy
oraz
gdy
Jeżeli
są rozłączne, a
jest ograniczoną funkcją
-mierzalną, to
![{\displaystyle \int \limits _{A\cup B}fd\nu =\int \limits _{A}fd\nu +\int \limits _{B}fd\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f9ad84a62d21aef5e0a8da717402b046008ad2)
Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.
Bibliografia
- Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. Brak numerów stron w książce
- Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.Sprawdź autora:1. Brak numerów stron w książce