*-pierścień

*-pierścień – pierścień (łączny) ${\displaystyle A}$ z dodatkowym działaniem jednoargumentowym (nazywanym inwolucją), oznaczanym symbolem *, spełniającym dla wszystkich elementów ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ pierścienia warunki

1. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
2. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$
3. ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$

*-algebra

*-pierścień, który jest algebrą nad innym *-pierścieniem nazywa się *-algebrą.

Np. *-pierścień nad ciałem liczb zespolonych ze sprzężeniem zespolonym jako inwolucją.

*-homomorfizm

Jeżeli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są *-algebrami to homomorfizm algebr ${\displaystyle h\colon A\to B}$ nazywa się *-homomorfizmem, gdy

${\displaystyle h(a^{*})=(h(a))^{*}}$

dla wszystkich elementów ${\displaystyle a}$ algebry ${\displaystyle A.}$

Element samosprzężony

Element ${\displaystyle a}$ pierścienia ${\displaystyle A}$ nazywa się samosprzężonym, gdy ${\displaystyle a^{*}=a.}$

Przykłady

• Naturalnym przykładem *-pierścienia (i trywialnie *-algebry jako algebry nad samym sobą) jest ciało liczb zespolonych ze sprzężeniem jako inwolucją.
• Algebra macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem liczb zespolonych z inwolucją będącą sprzężeniem hermitowskim macierzy jest *-algebrą.
• Ogólniej, dla danej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ algebra wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na ${\displaystyle H}$ z inwolucją będącą przyporządkowaniem operatora sprzężonego, jest *-algebrą.
• Iloczyn tensorowy ${\displaystyle A\otimes B}$ utworzony z *-algebr ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ jest *-algebrą i dla ${\displaystyle a\in A}$ oraz ${\displaystyle b\in B}$ zachodzi warunek

${\displaystyle (a\otimes b)^{*}=a^{*}\otimes b^{*}.}$

Zobacz też

• C*-algebra
• algebra von Neumanna
• pierścień Baera
• algebra operatorów

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, s. 142–150.