Svak derivert

En svak derivert er en generalisering av konseptet deriverbarhet, for funksjoner som ikke er deriverbare, men likevel, under visse betingelser, integrerbare. For funksjoner som ligger i L^p-rommet ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ regnes som svakt deriverbar hvis man kan finne en annen funksjon ${\displaystyle v}$ som kan erstatte de deriverte i et gitt integral, og få samme svar som man ville fått dersom de deriverte faktisk hadde eksistert.

Ved å definere svake deriverte kan man inkludere mange flere funksjoner, det vil si jobbe med et mer generelt funksjonsrom. Definisjon av svake deriverte er essensielt for den teoretiske bakgrunnen for elementmetoden, som igjen er et viktig verktøy for numerisk løsning av partielle differensialligninger.

La u og v være funksjoner i funksjonsrommet ${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$, alle lokalt integrerbare funksjoner for en gitt åpen mengde ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, og la ${\displaystyle \alpha }$ være en multiindeks. Dersom det eksisterer en v slik at

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{|}\alpha |\int _{U}v\phi dx}$

for alle uendelig deriverbare funksjoner ${\displaystyle \phi }$ med kompakt støtte i U, sier vi at v er den ${\displaystyle \alpha }$-te svake deriverte av u, og vi skriver dette som

${\displaystyle D^{\alpha }u=v}$.^[1]

Definisjonen er motivert av teknikken delvis integrasjon, som per definisjon er gitt ved

${\displaystyle \int _{U}u\phi _{x_{i}}dx\ =\ u\phi |_{\partial U}-\int _{U}u_{x_{i}}\phi dx}$

der første ledd på høyre side forsvinner siden ${\displaystyle \phi }$ har kompakt støtte (er lik 0 på randen). Hvis man anvender dette for hver indeks i ${\displaystyle \alpha }$ får man

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\phi dx=(-1)^{\alpha }\int _{U}D^{\alpha }u\phi dx}$

der man gjør dette for hvert par av indekser i ${\displaystyle \alpha }$ og tilsvarende variabler ${\displaystyle x_{i}}$. Det er ikke gitt at ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ finnes, men om det finnes en annen funksjon v som gjør at integralet over gir likhet for alle funksjoner i U med kompakt støtte, kan man bruke denne istedenfor.^[1]

Hvis man ser på funksjonen ${\displaystyle u:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ definert som

${\displaystyle u(x)=|x|}$

er u ikke deriverbar i 0. Man kan imidlertid definere en funksjon v som

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x\in [-1,0)\\1&{\mbox{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$

og for alle ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }([-1,1])}$ (alle uendelig deriverbare funksjoner med kompakt support over intervallet ${\displaystyle [-1,1]}$) har vi at

${\displaystyle \int _{-1}^{1}u\phi 'dx=\int _{-1}^{0}-x\phi 'dx+\int {0}^{1}x\phi 'dx=-\int _{-1}^{0}(-1)\phi dx+\int _{0}^{1}(1)\phi dx=(-1)\int _{-1}^{1}v\phi dx}$

så v er den første svake deriverte av u over ${\displaystyle [-1,1]}$.

• Dersom den ${\displaystyle \alpha }$-te svake deriverte av u eksisterer, er den unikt definert nesten overalt (overalt utenom på et sett med mål 0).^[1]
• Dersom u og v er lokalt integrerbare, altså ${\displaystyle u,v\in L_{loc}^{1}(U)}$ over et underrom ${\displaystyle U}$. Da er

${\displaystyle v=D^{\alpha }u}$

hvis og bare hvis det eksisterer en følge av uendelig deriverbare funksjoner ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ som konvergerer til u i ${\displaystyle u,v\in L_{loc}^{1}(U)}$ hvis deriverte ${\displaystyle D^{\alpha }u_{m}}$ konvergerer til v i ${\displaystyle u,v\in L_{loc}^{1}(U)}$.^[2]