Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.
En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.
Definisjon
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:
der
er variabelen man bruker i laplacedomenet og
er funksjonen som skal transformeres. Her er
en kompleks variabel:
Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende
Dette impliserer videre at
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\right\}=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958befc2715adf7585a23a37c1e60a0d77bbb9d8)
og
Linearitet
Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon
og
som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:
Vekstrestriksjon
Per definisjon har en funksjon
en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle
på følgende måte:
der
og
er konstanter. Siden
er stykkevis kontinuerlig, vil også
være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:
Hvis en funksjon
er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der
og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle
og konstantene
og
, vil laplacetransformasjonen
eksistere for alle
.
Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av
, tilfredsstiller følgende:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'\right\}=s{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50773a3b88f9561ba7509de140eaf87c4dcb1f1b)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f''\right\}=s^{2}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-sf(0)-f'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2b69a5fed9d3705ba6cb372fc58c1835ed7cc2)
Det kan bevises ved bruk av induksjon at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon
har
antall kontinuerlige deriverte for
, og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av
tilfredsstille:
La
være den laplacetransformerte av funksjonen
som er stykkevis kontinuerlig for
og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for
,
( i forhold til vekstrestriksjonen), og
, er
som også gir:
Laplace og ODE'er
Prosess for løsing av lineære ODE'er
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:
- Steg 1. Den oppgitte ODE transformeres til en algebraisk ligning, ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en hjelpeligning.
- Steg 2. Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige algebraiske manipuleringer.
- Steg 3. Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.
Fordeler framfor vanlig framgangsmåte
- I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
- II. Mer viktig: bruken av Heavisides stegfunksjon og Diracs deltafunksjon gjør metoden særlig mektig for problemer med inndata som er usammenhengende eller representerer korte impulser eller kompliserte periodiske funksjoner.
Tidsdomene ![{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53176c16ac8051af81ecc1080b1da4234ccff7f0) | Laplace s-domene |
![{\displaystyle 1\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5d1ed59521741d5b5d3fd911581dfc47d931d3) | |
![{\displaystyle t\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0802184af6ebcdd686d12c7df048f36d565dda) | |
![{\displaystyle t^{2}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15b37fac5d675d8427c5bd43ec1c0643e1767df) | |
![{\displaystyle (n=0,1,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4b5972d63aef3c75779082a37a686e71ee9a69) | |
positiv ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc) | |
![{\displaystyle e^{at}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db72fdfb7881f17c69edd7b815e35c7cab407489) | |
![{\displaystyle cos(\omega t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098433a82914c30a676c6ea60d8e99a8e1b73384) | |
![{\displaystyle sin(\omega t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ab26300e81f893aeac12f422efd7a5666da94d) | |
![{\displaystyle cosh(at)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e002b89350b5a190478163a12a6f2e1193fbf5e) | |
![{\displaystyle sinh(at)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f4d53a0c6e30abc7136177b6c55dd051af0540) | |
![{\displaystyle e^{at}cos(\omega t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2f7632f779dd8e848f426f3a4d8f8a7dbc2a44) | |
![{\displaystyle e^{at}sin(\omega t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57ff3613076ee72a9f51a7859bccba3189f732b) | |
Se også
Kilder
- Kreyszig, Erwin (2011), Advanced Engineering Mathematics (10th utgave), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-64613-7 .
Denne artikkelen er en spire. Du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den.
Oppslagsverk/autoritetsdata | Store norske leksikon · Encyclopædia Britannica · MathWorld · LCCN · BNF · BNF (data) · NDL · NKC |
---|