Kompakt operator

I matematikk er en kompakt operator en lineær operator ${\displaystyle T:X\to Y}$, der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).

La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon ${\displaystyle T:X\to Y}$ er kompakt dersom for enhver begrenset følge ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i X, inneholder følgen ${\displaystyle \{Tx_{n}\}}$ i Y en konvergent delfølge.^[1]

Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde ${\displaystyle A\subset X}$, er ${\displaystyle T(A)\subset Y}$ relativt kompakt.^[2]

La X, Y og Y være normerte vektorrom, og ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$ og ${\displaystyle K(\cdot ,\cdot )}$ betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.

En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer ${\displaystyle K(X,Y)}$ er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis ${\displaystyle S,T\in K(X,Y)}$, og ${\displaystyle a,b}$ skalarer, så er også operatoren definert ved ${\displaystyle aS+bT}$ kompakt, og hvis ${\displaystyle S\in B(X,Y)}$ og ${\displaystyle T\in B(Y,Z)}$ og minst en av de er kompakt, er også operatoren ${\displaystyle TS}$ kompakt.^[3]

Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ en følge i ${\displaystyle K(X,Y)}$ som konvergerer til en operator ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.^[2]

Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.^[4]

Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) ${\displaystyle Im(T)}$ samt verdimengden til tillukningen ${\displaystyle {\overline {Im(T)}}}$ separable.^[2]

Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ konvergerer til T, er T kompakt.^[5] Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge ${\displaystyle \{T_{k}\}}$ av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T^* er kompakt.^[6]

• Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Real Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 

• (en) Eric W. Weisstein, Compact Operator i MathWorld.