Hölder-kontinuitet

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og ${\displaystyle \gamma }$ (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i ${\displaystyle \gamma }$ og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent ${\displaystyle \gamma =1}$ er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis ${\displaystyle \gamma >1}$ er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

En funksjon ${\displaystyle f:X\to Y}$, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent ${\displaystyle \gamma }$) dersom det finnes en konstant ${\displaystyle C\geq 0}$ og en konstant ${\displaystyle \gamma >0}$ slik at^[1]

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\gamma }}$

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom ${\displaystyle (X,d_{X})}$ og ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, der ${\displaystyle d_{X}}$ og ${\displaystyle d_{Y}}$ angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon ${\displaystyle f:X\to Y}$ Hölder-kontinuerlig (med eksponent ${\displaystyle \gamma }$) dersom det finnes en konstant C slik at

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Cd_{X}(x_{1},x_{2})^{\gamma }}$

Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige

• Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, siden

${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(y)|\leq |a||x-y|}$ der ${\displaystyle C=|a|}$ og ${\displaystyle \gamma =1}$

• Funksjonen ${\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)}$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig over ${\displaystyle (0,\infty )}$, men den er Hölder-kontinuerlig med konstant ${\displaystyle C=1}$ og eksponent ${\displaystyle \gamma =1/2}$:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|}$

Anta ${\displaystyle x>y}$, da får vi

${\displaystyle |{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|={\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}})}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\Big (}{\frac {\sqrt {x-y}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq {\Big (}{\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq 1|x-y|^{1/2}}$

• (en) Stover, Christopher og Weisstein, Eric W., Hölder condition i MathWorld.
• Hölder condition på Encyclopedia of Math