Bue (geometri)

En bue eller boge er i geometri en vilkårlig kontinuerlig del av en kurve.^[1] Noen forfattere bruker en strengere definisjon, ved tilleggskrav til kurvesegmentet. En sirkelbue, ofte bare kalt en bue, er en del av en sirkel.

Tilsvarende som for en kurve kan en bue defineres basert på en funksjon ${\displaystyle F}$ fra et reelt intervall ${\displaystyle I}$ inn i et rom ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle F:I\rightarrow V}$

Noen forfattere refererer til verdimengden til ${\displaystyle F}$ som kurven^[2], andre til funksjonen ${\displaystyle F}$^[3]. Hvilke tilleggskrav som stilles til funksjonen ${\displaystyle F}$ og rommet ${\displaystyle V}$ varierer med forfatter og sammenheng. Eksempler på tillegskrav kan være

• Funksjonen ${\displaystyle F}$ er kontinuerlig.^[4] Med en slik definisjon blir begrepene bue og kurve synonyme.
• Buen er glatt, det vil si er deriverbar og har kontinuerlige deriverte, slik at teori for differensialgeometri gjelder for buen.
• Funksjonen ${\displaystyle F}$ er bijektiv, det vil si en en-til-en-avbildning.^[3]
• Funksjonen ${\displaystyle F}$ er homeomorf og intervalet ${\displaystyle I}$ er lukket^[5]

En bue er i det euklidske rommet ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ definert med en parameterframstilling

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \qquad t\in [a,b].}$

Buen er glatt når funksjonene ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ og ${\displaystyle z(t)}$ er deriverbare og de deriverte er kontinuerlige. For en slik bue er buelengden gitt ved^[6]

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}|\mathbf {r} \ '(t)|\,dt==\int _{a}^{b}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\;dt\ .}$

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren ${\displaystyle t}$, slik at ${\displaystyle x'=dx/dt}$.

En sirkelbue er en del av en sirkel. I klassisk geometri for planet brukes sirkelbuen mye, konstruert ved hjelp av en passer. I denne sammenhengen brukes kortformen «bue» ofte ekvivalent med «sirkelbue». Sirkelbuen har sentrum og radius lik sirkelen den er en del av.

En bue sies å være utspent av en vinkel dersom buen har sentrum i toppunktet til vinkelen og har endepunkt på vinkelbeina.

En sirkelbue kan defineres ved å oppgi sentrum og radius, samt endepunktene til buen. Alternativt kan en gi ett endepunkt og størrelsen på vinkelen som utspenner buen.

Sirkelbuer danner grunnlaget for definisjon av vinkelmålet radian, definert som lengden av en bue utspent av vinkelen, delt på radien til sirkelbuen. Lengden av en sirkelbue ${\displaystyle L}$ som spenner over en vinkel ${\displaystyle \theta }$ målt i radianer er gitt ved

${\displaystyle L=r\theta ,}$

når ${\displaystyle r}$ er radien til buen.

Er vinkelen målt i grader, så er lengden av en bue utspent av vinkelen ${\displaystyle v}$ gitt ved

${\displaystyle L=\pi r{\frac {v}{180}}}$

Vinkelmålet grader kan også deles opp i mindre enheter bueminutt og buesekund.

En sirkelsektor er en del av en sirkel, begrenset av to radier og en sirkelbue. Arealet ${\displaystyle A}$ av en sirkelsektor er gitt ved

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }$

• www.mathopenref.com Definition and properties of a circular arc. Med interaktiv animasjon. Besøkt 12. desember 2019.