Boltzmanns konstant

Boltzmanns konstant (k eller k_B) er en fysisk konstant som knytter energien til partiklene i en gass til den temperatur som gassen har. Den ble innført av Max Planck for å forklare egenskaper ved varmestråling. Han ga den navn etter den østerrikske fysiker Ludwig Boltzmann som spilte en viktig rolle i etablering av statistisk mekanikk. Konstanten opptrer i mange fundamentale sammenhenger som Boltzmann-fordelingen og Boltzmanns lov for beregning av entropien til et generelt system.

Etter omdefineringen av SI-enhetene i 2019 ble Boltzmanns konstant knyttet til definisjonen av enheten kelvin for absolutt temperatur. Den ble da bestemt å ha verdien

${\displaystyle k_{B}=1{,}380\,649\times 10^{-23}\mathrm {\ J\,K^{-1}} }$

Denne er presis og har ingen usikkerhet knyttet til seg.^[1]

Konstanten regnes i dag som en av de sju fundamentale enhetene som alle andre enheter er utledet fra i SI-systemet. Mest direkte er den forbundet med den universelle gasskonstanten R ved relasjonen k_B = R/N_A  hvor N_A  er Avogadros konstant. Derfor er gasskonstanten en avledet og ikke fundamental størrelse. Da den forbinder energi og temperatur, kan man velge å måle temperatur i samme enhet som energi, for eksempel joule. Det tilsvarer å sette k_B = 1 og ville være et eksempel på bruk av en naturlig enhet for temperatur. På lignende vis benyttes ofte relativistiske enheter hvor lyshastigheten c = 1 slik at både tid og lengde kan måles med samme enhet.

Denne konstanten ble tilsynelatende aldri benyttet av Boltzmann selv. Forklaringen er sannsynligvis at på hans tid så man ingen mulighet for å beregne absolutte verdier for entropien til et system. Det ble først mulig ved etableringen av kvantemekanikken som Planck satte i gang i forbindelse med sin forklaring av egenskapene til sort stråling.. Konstanten ble derfor i begynnelsen kalt for «Plancks konstant». Men snart ble denne betegnelsen også benyttet for Plancks egen og absolutt nye kvantemekaniske konstant h. Dermed var det naturlig å innføre navnet «Boltzmanns konstant» for kombinasjonen R/N_A som hadde opptrått tidligere.^[2]

Kanskje den mest fundamentele sammenheng der Boltzmanns konstant opptrer, er hans lov for hvordan entropien S  til et system er gitt ved antall mikrotilstander W  som er tilgjengelig for det. Den ble formulert av Planck som

${\displaystyle S=k_{B}\log W}$

hvor den naturlige logaritmen inngår. Loven sier at jo større antall tilgjengelige tilstander er, desto større er systemets entropi. Når det er i ltermisk likevekt, kan det ikke lenger finne flere mikrotilstander. Deres antall er maksimalt og derfor også systemets entropi. På denne måten inneholder denne formuleringen en forklaring av termodynamikkens andre hovedsetning og gjør det også mulig å beskrive fluktuasjoner rundt likevektstilstanden og hvordan denne kan nås.^[3]

Når temperaturen til systemet avtar, vil også antall tilgjengelige tilstander reduseres. Men dette antall kan aldri bli mindre enn W = 1, noe som betyr at entropien alltid må være S ≥ 0. Den kan ikke bli negativ som før Planck var et mysterium. Dette er innholdet av det som noen ganger omtales som termodynamikkens tredje hovedsetning.

Når systemet er i likevekt ved en bestemt temperatur T, befinner det seg i en «makrotilstand» som inneholder et maksimalt antall mikrotilstander. Sannsynligheten for å finne det nøyaktig i en mikrotilstand med energi E_a, er gitt ved Boltzmann-fordelingen

${\displaystyle p_{a}={1 \over Z}e^{-E_{a}/k_{B}T}}$

hvor Z  er en normeringskonstant som kalles systemets partisjonsfunksjon. Herav kan man beregne dets midlere energi som kan identifiseres med systemets indre energi samt andre av dets termodynamiske egenskaper.^[4]

Denne sannsynlighetsfordelingen hadde sitt utspring i Maxwells hastighetsfordeling for partiklene i en gass. Av den grunn sies partikler som oppfyller denne fordelingen, å følge Maxwell-Boltzmann statistikk. Den gjelder for like partikler som i prinsippet kan adskilles fra hverandre. Derimot kan helt identiske partikler som fotoner og elektroner ikke på noen måte skilles fra hverandre og må beskrives ved kvantestatistikk. Boltzmanns konstant inngår da på en litt annen måte.^[5]

Trykket i en ideell gass som er i termisk likevekt ved temperaturen T, kan beregnes i kinetisk teori. Inneholder den N  partikler i et volum V, gir det tilstandsligningen

${\displaystyle PV=Nk_{B}T}$

På samme måte kan den indre energien finnes og blir

${\displaystyle U={3 \over 2}Nk_{B}T}$

Da den skyldes kun partiklenes bevegelse i det tredimensjonale volumet, betyr det at hver frihetsgrad til én partikkel bidrar med k_BT/2  til denne energien.

Dette ligger til grunn for ekvipartisjonsprinsippet som sier at hver slik frihetsgrad skal bidra med et tilsvarende beløp. Da molekyler består av flere atomer, vil de også kunne rotere og oscillere. Vanlig luft består hovedsaklig av molekylene N₂ og O₂. Bidraget til den frie energien fra disse frihetsgradene kan beregnes ved bruk av statistisk mekanikk. Det vil variere med temperaturen på en måte som er bestemt av Boltzmann-fordelingen.^[4]

• Boltzmanns konstant (CODATA-verdi) hos NIST.