Binom

En binom er i matematikk et polynom som er summen av to monomer. Generelt kan et binom skrives som ${\displaystyle ax_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{k}^{e_{k}}+bx_{1}^{f_{1}}\cdots x_{k}^{f_{k}}}$ der ${\displaystyle a,b\neq 0}$ er koeffisienter, ${\displaystyle k}$ et positivt heltall, ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k},f_{1},\ldots ,f_{k}}$ ikke-negative heltall og ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$ variabler. Gitt at koeffisientene ${\displaystyle a,b}$ er elementer i en ring ${\displaystyle R}$ utgjør binomene en delmengde av polynomringen ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{k}]}$.

1. ${\displaystyle x+y}$.
2. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$
3. ${\displaystyle 3x^{2}-2yz}$
4. ${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$

• Binomene følger de generelle regnereglene for polynomer, men binomene er ikke lukket for addisjon og multiplikasjon.

• Produktet av en binom og en monom er en binom. For eksempel er ${\displaystyle (4x-6y)\cdot 3x=12x^{2}-18xy}$.
• Produktet av to binomer er generelt ikke en binom. For eksempel er ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}$ en trinom.
• Binomialsetningen: Binomen ${\displaystyle x+y}$ opphøyd i ${\displaystyle n}$-te kan skrives som ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}}$.
• Kvadratsetningene: ${\displaystyle (x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}}$.
• Konjugatsetningen: Binomen ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ kan faktoriseres som et produkt av to binomer: ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}$.
• Mer generelt er ${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1})}$

• Binominalformelen

• Binomialkoeffisient