In de algebra is de sylvestermatrix van twee polynomen in een variabele
een matrix geconstrueerd met de coëfficiënten van deze polynomen. De matrix is genoemd naar James Joseph Sylvester en vindt z'n bestaansrecht in de resultante van de beide polynomen, gedefinieerd als de determinant van de sylvestermatrix.
Constructie
Stel men heeft twee polynomen in
,
van graad
en
van graad
:
![{\displaystyle f(x)=f_{m}x^{m}+f_{m-1}x^{m-1}+\ldots +f_{1}x+f_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a06980d222fcbcd1b57b5832f3aef38e26f7c1b)
![{\displaystyle g(x)=g_{n}x^{n}+g_{n-1}x^{n-1}+\ldots +g_{1}x+g_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949871eb473af5d1da118c288534de5f990683b2)
De sylvestermatrix van
en
is de
-matrix waarvan de eerste
rijen worden gevuld met de coëfficiënten van
en de volgende
rijen met de coëfficiënten van
, en wel zo, dat
- de eerste rij uit de coëfficiënten bestaat van
, beginnend bij die van de hoogste macht van
, gevolgd door nullen. - De tweede rij is de eerste rij een plaats naar rechts opgeschoven, het eerste element is nul.
- De volgende
rijen worden op dezelfde manier opgebouwd, totdat
in de rechter kolom staat. - De
-e rij bestaat uit de coëfficiënten van
, gevolgd door nullen. - De volgende rijen ontstaan op dezelfde manier als voor
.
De structuur van een sylvestermatrix wordt aan de hand van een voorbeeld getoond. Zij
![{\displaystyle f(x)=6x^{4}-2x^{3}+x^{2}+3x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80db0104b9cf52897064c44e1e9bcbd36ed5c127)
![{\displaystyle g(x)=7x^{3}+4x^{2}+5x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84af493cee8294c393d9cd885e82029682ba42a3)
dus
en
.
De sylvestermatrix is:
![{\displaystyle \mathrm {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}6&-2&1&3&2&0&0\\0&6&-2&1&3&2&0\\0&0&6&-2&1&3&2\\7&4&5&1&0&0&0\\0&7&4&5&1&0&0\\0&0&7&4&5&1&0\\0&0&0&7&4&5&1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5874f26a4cab5333922f88f5685bb86030c78d)
De algemene vorm is:
![{\displaystyle \mathrm {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&f_{m-1}&f_{m-2}&\ldots &f_{1}&f_{0}&0&\ldots &0&0\\0&f_{m}&f_{m-1}&\ldots &f_{2}&f_{1}&f_{0}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f_{m}&f_{m-1}&f_{m-2}&\ldots &f_{1}&f_{0}\\g_{n}&g_{n-1}&g_{n-2}&\ldots &g_{1}&g_{0}&0&\ldots &0&0\\0&g_{n}&g_{n-1}&\ldots &g_{2}&g_{1}&g_{0}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &g_{n}&g_{n-1}&g_{n-2}&\ldots &g_{1}&g_{0}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f598c61f57fdeac54e676444c031eedae2e53fe5)
Merk op dat op de eerste
plaatsen van de diagonaal
staat en dat op de
volgende plaatsen op de diagonaal
staat.
Resultante
De resultante van twee polynomen is gedefinieerd als de determinant van de sylvestermatrix van de twee polynomen. Deze resultante is alleen dan gelijk aan nul, als de twee polynomen een gemeenschappelijk nulpunt hebben.
Websites
- MathWorld. Sylvester matrix.